História da teoria de Colas, modelo, para que serve e exemplos

O  teoria das caudas É o ramo da matemática que estuda os fenômenos e comportamentos nas linhas de espera. Eles são definidos quando um usuário que exige um determinado serviço decide esperar que o servidor seja processado.

Estude os elementos presentes nas linhas de espera de qualquer tipo, sejam de elementos humanos ou processamento de dados ou operações. Suas conclusões são aplicações constantes nas linhas de produção, registro e processamento.

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Seus valores servem na parametrização dos processos antes de sua implementação, servindo como um elemento organizacional -chave para o gerenciamento correto de planejamento.

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História

O maior responsável em seu desenvolvimento foi o matemático de origem dinamarquesa Agner Kramp Erlang, que trabalhou na empresa de telecomunicações Cântica telefônica de Copenhague.

Agner observou as necessidades crescentes que surgiram no sistema de distribuição de serviços telefônicos da empresa. É por isso que começou o estudo dos fenômenos matemáticos que poderiam ser quantificados no sistema de linha de espera.

Sua primeira publicação oficial foi um artigo intitulado Teoria das caudas, que viu a luz em 1909. Sua abordagem foi direcionada principalmente ao problema de dimensionando linhas e plantas de troca de telefone para o serviço de chamada.

Modelo e elementos

Existem diferentes modelos de filas em que alguns aspectos são responsáveis ​​por definir e caracterizar cada um deles. Antes de definir os modelos, os elementos que constituem qualquer modelo de cauda são apresentados.

-Unid

Fonte de entrada ou potencial população

É o conjunto de demandantes em potencial. Isso se aplica a qualquer tipo de variável, de usuários humanos a conjuntos de pacotes de dados. Eles são classificados em finitos e infinitos de acordo com a natureza do conjunto.

A fila

Refere -se ao conjunto de elementos que já fazem parte do sistema de serviço. Que já concordaram em esperar pela disponibilidade do operador. Estão esperando as resoluções do sistema.

-O sistema de cauda

É composto pela tríade formada pela cauda, ​​pelo mecanismo de serviço e pela disciplina da cauda. Dê estrutura ao protocolo do sistema, governando os critérios para selecionar elementos da cauda.

-Mecanismo de serviço

É o processo pelo qual o serviço é fornecido a cada usuário.

-Cliente

É qualquer elemento pertencente à população em potencial que exige um serviço. É importante conhecer a taxa de entrada do cliente, bem como a probabilidade de que a fonte de gerá -los tenha.

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-Capacidade da cauda

Refere -se à capacidade máxima de elementos que podem estar esperando para ser servido. Pode ser considerado finito ou infinito, sendo na maioria dos casos infinitos por critérios de praticidade.

-Disciplina da cauda

É o protocolo pelo qual a ordem em que o cliente é atendido é determinado. Serve como um canal de processamento e pedido para usuários, sendo responsável por sua disposição e movimento dentro da cauda. De acordo com seus critérios, pode ser de diferentes tipos.

- FIFO: da sigla em inglês Primeiro a entrar, primeiro a sair, Também conhecido como FCFS Primeiro coma primeiro servido. Eles significam respectivamente Primeiro a sair para sair e Primeiro a vir primeiro a ser servido. Ambas as maneiras denotam que o primeiro cliente a chegar será o primeiro a ser tratado.

- Lifo: Ultimo a entrar primeiro a sair Também conhecido como bateria ou LCFS Última comer primeiro servido. Onde o cliente que chegou finalmente é atendido.

- RSS: Seleção aleatória de serviço Também chamado de Siro Serviço em ordem aleatória, onde os clientes são selecionados de acordo com um critério aleatório ou aleatório.

Modelos

Existem 3 aspectos que governam o modelo de fila a considerar. Estes são os seguintes:

- Distribuição do tempo entre chegadas: refere -se à taxa com a qual as unidades são adicionadas à cauda. São valores funcionais e estão sujeitos a diferentes variáveis ​​de acordo com sua natureza.

- Distribuição do tempo de serviço: tempo gasto pelo servidor para processar o serviço exigido pelo cliente. Varia de acordo com a quantidade de operações ou esforços que são estabelecidos.

Esses 2 aspectos podem assumir os seguintes valores:

M: Distribuição exponencial exponencial (Markoviana).

D: Distribuição degenerada (tempos constantes).

E_k: Distribuição Erlang com um parâmetro K.

G: Distribuição geral (qualquer distribuição).

- Número de servidores: portões de serviço abertos e disponíveis para processar clientes. Eles são essenciais na definição estrutural de cada modelo de fila.

Dessa maneira. Finalmente, o número de servidores é estudado.

Um exemplo bastante comum é o m m 1, que se refere a uma distribuição de tempo de chegada e serviço do tipo exponencial, enquanto trabalha com um único servidor.

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Outros tipos de modelos de caudas são m m, m g 1, m e 1, d m 1, entre outros.

Tipos de sistemas de cauda

Existem vários tipos de sistemas de cauda em que várias variáveis ​​servem como indicadores do sistema apresentado. Mas o número de caudas e o número de servidores são governados por. A estrutura linear à qual é enviada ao usuário também é aplicada para receber o serviço.

- Uma cauda e um servidor. É a estrutura usual, onde o usuário através do sistema de chegada entra na cauda, ​​onde depois de cumprir sua espera de acordo com a disciplina da cauda e é processada pelo único servidor.

- Uma cauda e vários servidores. O usuário, no final de seu tempo de espera, pode ir a servidores diferentes que podem ser artistas dos mesmos processos, pois também podem ser particulares para procedimentos diferentes.

- Várias caudas e vários servidores. A estrutura pode ser dividida para diferentes processos ou servir como um canal amplo para atender a uma alta demanda por serviço comum.

- Uma cauda com servidores seqüenciais. Os usuários passam por diferentes estágios. Eles entram e ocorrem na cauda e, quando são atendidos pelo primeiro servidor, eles vão para um novo estágio que requer conformidade prévia com o primeiro serviço.

Terminologia

- λ: Este símbolo (lambda) representa na teoria das filas para o valor esperado das entradas por intervalo de tempo.

- 1/λ: corresponde ao valor esperado entre os tempos de chegada de cada usuário que entra no sistema.

- μ: O símbolo MU corresponde ao número esperado de clientes que concluem o serviço por unidade de tempo. Isso se aplica a cada servidor.

- 1/μ: tempo de serviço esperado pelo sistema.

- ρ: o símbolo Rho indica o fator de uso do servidor. Serve para medir o que uma parte do tempo o servidor será processado processando os usuários.

ρ = λ/sμ

Se p> 1 o sistema será transitório, ele tenderá a crescer, porque a taxa de utilitário do servidor está abaixo da entrada do usuário no sistema.

Sim < 1 el sistema se mantendrá estable.

Para que é a teoria para

Foi criado para otimizar processos de benefícios de serviço telefônico. Isso demarcou uma utilidade em relação aos fenômenos de linhas de espera, onde é procurado reduzir os valores de tempo e cancelar qualquer tipo de Retrabalho ou processo redundante que diminui o processo de usuários e operadores.

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Em níveis mais complexos, onde as variáveis ​​de entrada e serviço tomam valores mistos, os cálculos realizados fora da teoria das caudas são quase impensáveis. As fórmulas fornecidas pela teoria abertas ao cálculo avançado dentro deste ramo.

Elementos presentes nas fórmulas

- PN: valor em relação à probabilidade de que as unidades "n" estejam dentro do sistema.

- LQ: comprimento da cauda ou valor médio dos usuários.

- LS: média de unidades no sistema.

- WQ: média da taxa de espera na cauda.

- WS: Taxa de espera no sistema.

- _λ: clientes médios que entram no serviço.

- WS (T): Valor referente à probabilidade de que um cliente permaneça mais do que unidades "T" no sistema.

- WQ (t): valor referente à probabilidade de um cliente permanecer mais do que unidades "t" na cauda.

Exemplos

Um registro tem um único servidor para processar os passaportes dos usuários que vêm. O registro participa de uma média de 35 usuários por hora. O servidor tem a capacidade de participar de 45 usuários por hora. Sabe -se anteriormente que os usuários permanecem em média 5 minutos na cauda.

Você quer saber:

1. Tempo médio que cada usuário passa no sistema
2. Número médio de clientes na cauda

Você tem λ = 35/45 clientes / minutos

μ = 45/60 clientes / minutos

WQ = 5 minutos

Parte a

O tempo médio no sistema pode ser calculado com WS

Ws = wq + 1/μ = 5 minutos + 1,33 = 6,33 minutos

Dessa forma, o tempo total é definido que o usuário estará no sistema, onde 5 minutos estarão na cauda e 1,33 minutos com o servidor.

Parte B

Lq = λ x wq

LQ = (0,78 minutos minutos) x (5 minutos) = 3,89 clientes

Na cauda, ​​pode haver mais de 3 clientes simultaneamente.

Referências

1. Diretoria de Operações. Editorial Vértice, 16 de abril. 2007
2. Teoria da fila ou linha de espera. Germán Alberto Córdoba Barahona. Universidade Pontifical Javeriana, 2002
3. Problemas de teoria de sistemas resolvidos. Roberto Sanchis llopis. Publicações da Universitat Jaume I, 2002
4. Métodos quantitativos da Organização Industrial II. Joan Baptista Fonollosa Guardiet, José María Sallán Leis, Albert Suñé Torrents. Univ. Politèc. de Catalunya, 2009
5. Teoria do inventário e sua aplicação. Editorial Pax-México, 1967