Técnicas de contagem técnicas, aplicações, exemplos, exercícios

As Técnicas de contagem Eles são uma série de métodos de probabilidade para contar o possível número de acordos dentro de um conjunto ou vários conjuntos de objetos. Eles são usados ​​ao fazer contas manualmente se torna complicado devido ao grande número de objetos e/ou variáveis.

Por exemplo, a solução para esse problema é muito simples: imagine que seu chefe pede que você conte os produtos mais recentes que chegaram na última hora. Nesse caso, você pode ir e contar os produtos um por um.

No entanto, imagine que o problema é o seguinte: seu chefe pede que você conte quantos grupos de 5 produtos do mesmo tipo podem ser formados com aqueles que chegaram na última hora. Nesse caso, o cálculo é complicado. Para esses tipos de situações, as técnicas de contagem chamadas são usadas.  

Essas técnicas são várias, mas as mais importantes são divididas em dois princípios básicos, que são multiplicativos e aditivos; Permutações e combinações.

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Princípio multiplicativo

Formulários

O princípio multiplicativo, juntamente com o aditivo, é básico para entender a operação de técnicas de contagem. No caso do multiplicativo, ele consiste no seguinte:

Imagine uma atividade que implica um número específico de etapas (o total de marcá -lo como "r"), onde a primeira etapa pode ser feita nas formas N1, a segunda etapa do N2 e a etapa "r" de formulários NR. Nesse caso, a atividade pode ser feita no número de formas resultantes desta operação: n1 x n2 x .. .X FORMAS NR

É por isso que esse princípio é chamado de multiplicativo e implica que todos e cada um dos passos necessários para executar a atividade devem ser realizados após o outro. 

Exemplo

Vamos imaginar uma pessoa que quer construir uma escola. Para fazer isso, considere que a base do edifício pode ser construída de duas maneiras diferentes, cimento ou concreto. Quanto às paredes, elas podem ser Adobe, cimento ou tijolo.

Quanto ao telhado, isso pode ser construído de cimento ou folha galvanizada. Finalmente, a pintura final só pode ser feita de certa forma. A questão que surge é a seguinte: quantas maneiras a escola tem?

Primeiro, consideramos o número de etapas, que seriam a base, as paredes, o teto e a pintura. No total, 4 etapas, então r = 4.

Pode atendê -lo: função

O seguinte seria listar o n:

N1 = maneiras de construir a base = 2

N2 = maneiras de construir as paredes = 3

N3 = maneiras de fazer o telhado = 2

N4 = maneiras de executar tinta = 1

Portanto, o número de maneiras possíveis seria calculado pela fórmula descrita acima:

N1 x n2 x n3 x n4 = 2 x 3 x 2 x 1 = 12 maneiras de realizar a escola.

Princípio aditivo

Formulários

Esse princípio é muito simples, e é que, no caso de várias alternativas para realizar a mesma atividade, as maneiras possíveis consistem na soma das diferentes maneiras possíveis de realizar todas as alternativas.

Em outras palavras, se queremos realizar uma atividade com três alternativas, onde a primeira alternativa pode ser feita em m formas, a segunda de n formas e a última das formas w, a atividade pode ser feita: m + n + … + Formas w.

Exemplo

Imagine desta vez uma pessoa que quer comprar uma raquete de tênis. Para fazer isso, você tem três marcas para escolher: Wilson, Babolat ou Head.

Quando ele vai para a loja, ele vê que a raquete Wilson pode ser comprada com a alça de dois tamanhos diferentes, L2 ou L3 em quatro modelos diferentes e pode ser amarrada ou sem bordando.

A raquete Babolat, por outro lado, tem três mangas (L1, L2 e L3), existem dois modelos diferentes e também podem ser amarrados ou sem bordados.

A raquete da cabeça, enquanto isso, é apenas com uma manga, L2, em dois modelos diferentes e somente sem bordar. A questão é: de quantas maneiras essa pessoa tem que comprar sua raquete?

M = número de maneiras de selecionar uma raquete Wilson

N = número de maneiras de selecionar uma raquete de babolat

W = número de maneiras de selecionar um rack de cabeça

Realizamos o princípio multiplicador:

M = 2 x 4 x 2 = 16 formas

N = 3 x 2 x 2 = 12 formas

W = 1 x 2 x 1 = 2 formas

 M + n + w = ​​16 + 12 + 2 = 30 maneiras de escolher uma raquete.

Saber quando o princípio multiplicativo e o aditivo devem.

Permutações

Formulários

Para entender o que é uma permutação, é importante explicar o que é uma combinação capaz de diferenciá -los e saber quando usá -los.

Uma combinação seria um arranjo de elementos nos quais não estamos interessados ​​na posição que cada um deles ocupa.

Uma permutação, por outro lado, seria um arranjo de elementos em que estamos interessados ​​na posição que cada um deles ocupa.

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Vamos dar um exemplo para entender melhor a diferença.

Exemplo

Imagine uma aula com 35 alunos e com as seguintes situações:

1. O professor quer que três de seus alunos o ajudem a manter a aula limpa ou entregar materiais aos outros alunos quando ele precisar.
2. O professor deseja nomear delegados de classe (um presidente, um assistente e um financeiro).

A solução seria a seguinte:

1. Imagine que, por voto, Juan, María e Lucía são escolhidos para limpar a classe ou entregar os materiais. Obviamente, outros grupos de três pessoas poderiam ter se formado, entre os 35 possíveis alunos.

Devemos nos perguntar o seguinte: a ordem ou posição ocupada por cada um dos alunos importantes ao selecioná -los?

Se pensarmos sobre isso, vemos que realmente não é importante, pois o grupo cuidará do trabalho igualmente. Nesse caso, é uma combinação, pois não estamos interessados ​​na posição dos elementos.

2. Agora, vamos imaginar que Juan é eleito presidente, Maria como assistente e Lucia como um financeiro.

Nesse caso, o pedido da ordem seria? A resposta é sim, pois se mudarmos os elementos, mude o resultado. Isto é, se, em vez de colocar Juan como presidente, o colocamos como assistente, e Maria como presidente, o resultado final mudaria. Nesse caso, é uma permutação.

Uma vez que a diferença for entendida, obteremos as fórmulas das permutações e das combinações. No entanto, antes de você definir o termo “n!”(ENE Fatorial), como será usado nas diferentes fórmulas.

n!= ao produto de 1 a n.

n!= 1 x 2 x 3 x 4 x… x n

Usando -o com números reais:

10!= 1 x 2 x 3 x 4 x… x 10 = 3.628.800

 5!= 1 x 2 x 3 x 4 x ... x 5 = 120

A fórmula de permutações seria a seguinte:

Npr = n!/(N-r)!

Com ele, podemos descobrir os arranjos onde a ordem é importante e onde os elementos são diferentes.

Combinações

Formulários

Como mencionamos acima, as combinações são os arranjos em que não nos importamos com a posição dos elementos.

Sua fórmula é a seguinte:

Ncr = n!/(N-r)!r!

Exemplo

Se houver 14 alunos que desejam ser voluntários para limpar a sala de aula, quantos grupos de limpeza podem ser formados se cada grupo deve ser 5 pessoas?

A solução, portanto, seria a seguinte:

N = 14, r = 5

14C5 = 14! / (14 - 5)!5! = 14! / 9!5! = 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9!/ 9!5!= 2002 grupos

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Exercícios resolvidos

Exercício 1

Fonte: Pixabay.com

Natalia é encomendada por sua mãe para ir a uma loja de alimentos e comprar um refrigerante para esfriar. Quando Natalia pergunta o consumo dependente, ele diz que existem quatro sabores de refrigerantes, três tipos e três tamanhos.

Os sabores de refrigerantes podem ser: cauda, ​​limão, laranja e hortelã.

Os tipos de refrigerantes de cauda podem ser: normal, sem açúcar, sem cafeína.

Os tamanhos podem ser: pequeno, médio e grande.

A mãe de Natalia não especificou que tipo de refrigerante queria de quantas maneiras que Natalia tem para comprar a bebida?

Solução

M = tamanho e número do tipo que você pode selecionar ao escolher o refrigerante traseiro.

N = tamanho e número do tipo que você pode selecionar ao escolher o refrigerante de limão.

W = tamanho e número do tipo que você pode selecionar ao escolher o refrigerante laranja.

Y = tamanho e número do tipo que você pode selecionar ao escolher o refrigerante de hortelã.

Realizamos o princípio multiplicador:

M = 3 × 3 = 9 formas

N = 3 × 3 = 9 formas

W = 3 × 3 = 9 formas

Y = 3 × 3 = 9 formas

 M + n + w + y = 9 + 9 + 9 + 9 = 36 maneiras de selecionar o refrigerante.

Exercício 2

Fonte: Pixabay.com

Um clube de esportes anuncia oficinas de acesso gratuito para que as crianças aprendam a andar de skate. 20 crianças estão registradas, então dois grupos de dez pessoas decidem se dividir para que os instrutores possam dar aulas mais confortáveis.

Por sua vez, eles decidem superar qual grupo cada criança cairá. Em quantos grupos diferentes uma criança poderia entrar.

Solução

Nesse caso, a maneira de encontrar uma resposta é através da técnica de combinação, cuja fórmula era: ncr = n!/(N-r)!r!

n = 20 (número de crianças)

  R = 10 (tamanho do grupo)

20C10 = 20! / (20 - 10)!10! = 20! / 10!10! = 20 x 19 x 18 x 17 x 16 x 15x 14x 13x 12x 11x 10!/ 10!10!= 184.756 grupos.

Referências

1. Jeffrey, r.C., Probabilidade e a arte do julgamento, Cambridge University Press. (1992).
2. William Feller, "Uma introdução a teoria da probabilidade e as suas aplicações“, (Vol 1), 3ª ed, (1968), Wiley
3. Finetti, Bruno de (1970). "Fundamentos lógicos e medição da probabilidade subjetiva". Ato psicológico.
4. Hogg, Robert V.; Craig, Allen; McKean, Joseph W. (2004). Introdução às estatísticas matemáticas (6ª ed.). Upper Saddle River: Pearson.
5. Franklin, J. (2001) A ciência da conjectura: evidência e probabilidade antes de Pascal,Johns Hopkins University Press.