Propriedade distributiva

Explicamos o que é a propriedade distributiva, com exemplos e exercícios resolvidos

figura 1.- Propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição e subtração. Fonte: f. Zapata.

O que é propriedade distributiva?

O propriedade distributiva de multiplicação em relação à soma ou subtração consiste em multiplicar um fator pela soma ou subtração de duas ou mais quantidades.

São três quantidades A, B e C, que podem ser números reais, quantidades algébricas ou vetoriais, entre outras, e supõem que é proposto resolver com eles a seguinte operação:

A × (B + C)

Nesta expressão "A" é o fator y (b + c) é a soma indicada. Existem duas maneiras de encontrar a resposta da operação, a primeira é obter a soma (b+c) e o que quer que seja, é multiplicado por "a".

E de outra maneira consiste em multiplicar “a” para cada um dos termos b e c e depois adicionar os resultados. Não é incomum que a mesma operação seja feita de várias maneiras. O exemplo a seguir mostra que os dois procedimentos são equivalentes:

5 × (7 + 3) = 5 × 10 = 50

O bem:

5 × (7 + 3) = (5 × 7) + (5 × 3) = 35 + 15 = 50

Neste último procedimento, os 5 multiplicarem em 7 e depois para 3, os respectivos resultados são adicionados para obter o valor final.

A propriedade distributiva também pode ser aplicada à subtração, por exemplo:

8 × (12 - 5) = (8 × 12) - (8 × 5) = 96 - 40 = 56

E em ambos os casos, independentemente da quantidade de termos dentro dos parênteses, uma vez que o fator que multiplica é distribuído a todos, como nesta outra operação:

5 × (3 - 7 + 10) = (5 × 3) - (5 × 7) + (5 × 10) = 15 - 35 + 50 = 30

O fator comum: o inverso da propriedade distributiva

Considere a seguinte operação:

(7 × 2) + (7 × 6)

Em cada parêntese, há um 7 que se multiplica a outro número. Bem, como 7 é repetido em ambos os parênteses e está multiplicando, é chamado fator comum, para que a operação possa ser escrita como:

(7 × 2) + (7 × 6) = 7 × (2 + 6)

Esta operação é precisamente o inverso da propriedade distributiva e pode ser aplicada a qualquer quantidade de termos que tenham um fator comum, por exemplo:

Pode atendê -lo: fator comum para agrupar termos: exemplos, exercícios

(6 × 8) + (6 × 11) + (6 × 4) - (6 × 9)

O fator comum é 6, pois é repetido em cada um dos termos. Portanto:

(6 × 8) + (6 × 11) + (6 × 4) - (6 × 9) = 6 × (8 + 11+ 4− 9)

Observações

Sempre que você pensa em aplicar propriedades distributivas, é necessário observar a notação, nesse sentido é importante destacar que:

• Os símbolos "×" Cruz e o ponto médio -a -Hight "∙" são usados ​​indistintamente para denotar multiplicação.
• Mesmo que nenhum desses símbolos esteja presente entre o fator e o parêntese que contém os viciados, será entendido que é uma multiplicação. Por exemplo, na operação 5 (4 - 9), os 5 multiplicando em 4 e 9, da mesma maneira que nos exemplos anteriores:

5 (4− 9) = 5 ∙ 4−5 ∙ 9 = 20 - 45 = −25

Neste exemplo, o ponto na altura média também foi usado em vez da cruz.

Outro fato importante a considerar é a apresentação das operações, não é o mesmo 7 (5 + 1) que 7 + (5 × 1). No primeiro caso, a propriedade distributiva é aplicada da mesma maneira que foi feita:

7 (5+1) = 7 ∙ 5+7 ∙ 1 = 35+7 = 42

Por outro lado, para a Operação 7 + (5 × 1) prosseguir de acordo com a hierarquia de operações, que indica que os parênteses devem ser eliminados primeiro, desta maneira:

7 + (5 × 1) = 7 + 5 = 12

• A multiplicação é comutativa, portanto, é cumprido que:

A × (B + C) = (B + C) × A

O fator que multiplica a soma pode ser à esquerda ou à direita deste e, em qualquer caso, o resultado é o mesmo.

Exemplos de aplicação

Exemplo 1

A multiplicação de um grande número por outro pode ser realizada, através de propriedades distributivas, se o grande número se decompor em centenas, dezenas e unidades. Por exemplo, é solicitado:

Pode atendê -lo: sinais de agrupamento

5 × 852

O número 852 se decompõe além de:

852 = 800 + 50 + 2

E a operação solicitada é escrita como:

5 × 852 = 5 × (800 + 50 + 2)

Agora você só precisa aplicar a propriedade distributiva e obter a soma resultante:

5 × (800 + 50 + 2) = 4000 + 250 + 10 = 4260

Exemplo 2

A propriedade distributiva facilita o cálculo de somas de somas, produtos de diferenças e produtos de somas por diferenças:

(A + b) × (c + d) = a ∙ c + a ∙ d + b ∙ c + b ∙ d

(A + b) × (c - d) = a ∙ c - a ∙ d + b ∙ c - b ∙ d

(A - B) × (C - D) = A ∙ C - A ∙ D - B ∙ C + B ∙ D

Por exemplo, as seguintes operações são resolvidas como mostrado:

(5 + 4) × (2 + 13) = 5 ∙ 2 + 5 ∙ 13 + 4 ∙ 2 + 4 ∙ 13 = 10 + 65 + 8 +52 = 135

[(8 + (−17)] × (6 - 21) = 8 ∙ 6 - 8 ∙ 21 + ( - 17) ∙ 6 - ( - 17) ∙ 21 = 48-168-102 + 357 = 135

(11 - 7) × (9 - 16) = 11 ∙ 9 - 11 ∙ 16 - 7 ∙ 9 + 7 ∙ 16 = 99 - 176 - 63 +112 = −28

Exemplo 3

O balcão de uma florista tem quatro vasos com flores e em cada um deles existem 9 rosas e 2 cravos. A propriedade distributiva pode ser usada para encontrar o número total de flores nos quatro vasos, simplesmente multiplicando por 4 a soma (9 + 2):

Flores totais = 4 × (9 + 2) = 36 + 8 = 44 flores

Propriedade distributiva em álgebra

Tanto a propriedade distributiva quanto o fator comum têm amplo uso em álgebra e cálculo, pois permitem manipular expressões algébricas facilmente, de acordo com a conveniência.

Às vezes é melhor desenvolver uma expressão com propriedade distributiva, enquanto em outros pode ser mais eficaz ter a expressão fatorizada.

Por exemplo, suponha que a expressão precise ser desenvolvida:

2 (x+1)

Ao contrário da operação 5 × (7 + 3) = 5 × 10 = 50, os termos dentro dos parênteses não são semelhantes; portanto, sua soma não é reduzida a um único termo (em vez de 7 + 3 é imediatamente reduzido para 10). Nesse caso, a propriedade distributiva é aplicada para obter:

Pode atendê -lo: segmento de linha e semi -rio

2 (x + 1) = 2 ∙ x + 2 ∙ 1 = 2x + 2

Uso de propriedade distributiva para resolver equações

Algumas equações algébricas são resolvidas aplicando propriedades distributivas, por exemplo:

8 (X-2) = 14

Aplicando propriedade distributiva para desenvolver o lado esquerdo da igualdade que você tem:

8x - 16 = 14

8x = 14 + 16 = 30

x = 30/8 = 15/4

Produtos notáveis

A propriedade distributiva serve para demonstrar produtos notáveis, que são muito usados ​​em álgebra. Por exemplo, pode -se demonstrar que o produto da soma de duas quantidades multiplicado pela diferença dessas mesmas quantidades é igual à diferença de seus respectivos quadrados.

Denotando quantidades como "A" e "B" e a aplicação de propriedades é:

(a + b) × (a - b) = a⋅a - a⋅b + a 24² - b²

Exercícios resolvidos

Exercício 1

Um grupo de 8 amigos passe uma tarde para visitar um museu e comer um lanche. O transporte custa € 5, entrada 2 e o refresco de € 3 por pessoa. Calcule o custo da caminhada para todo o grupo.

• Solução

Cada participante precisa gastar (5 + 2 + 3) € por pessoa e, como 8, o total é calculado pela seguinte operação: _

8 × (5 + 2 + 3) € = (8 × 5 + 8 × 2 + 8 × 3) € = (40 + 16 + 24) € = € 80

Exercício 2

O estande de um funicular pode transportar 30 passageiros sentados e 12 passageiros elásticos. Calcule quantos passageiros são transportados após 9 viagens, se cada uma delas carregar o máximo de pessoas permitidas.

• Solução

O número total de pessoas que fazem uma única viagem é (30 + 12), assim como 9 viagens:

9 × (30 + 12) = 9 × 30 + 9 × 12 = 270 + 108 = 378 pessoas.

Referências

1. Baldor, a. 1985. Aritmética teórica-prática. Edições e distribuições Codex, Madri.
2. Lições foscas. Exercícios resolvidos de propriedade distributiva e obter fator comum. Recuperado de: Lições Dematadas.com.
3. MAMOTH MATEMÁTICA. Propriedade distributiva ou como multiplicar em partes. Recuperado de: Mammathematics.com.
4. Smartick. Exemplos de propriedades distributivas. Recuperado de: Smartick.é.
5. Vicen Vives. Matemática 4, Tópico: Multiplicação. Recuperado de: Howlew.com