Cálculo de probabilidade clássica, exemplos, exercícios resolvidos

O Probabilidade clássica É um caso particular do cálculo da probabilidade de um evento. É definido como o quociente entre os eventos favoráveis ​​a este evento e o total de eventos possíveis, com a condição de que cada um desses eventos seja igualmente provável. A probabilidade clássica também é conhecida como probabilidade a priori ou probabilidade teórica.

O desejo de antecipar as coisas faz parte da natureza humana o tempo todo: todos nos perguntamos se choverá no dia seguinte ou se um determinado time de futebol jogará ou não na primeira divisão na próxima temporada. Há evidências arqueológicas de que as pessoas jogavam jogando cerca de 40.000 anos.

Definição do conceito de probabilidade clássica

No entanto, o primeiro livro sobre as probabilidades se deve ao astrônomo holandês Christian Huygens que o chamou Raciocínio relacionado ao jogo de dados. Como vemos, a probabilidade clássica tem suas origens nos jogos de acaso.

Os dados têm uma longa história, é uma peça cúbica cujos rostos são numerados com pontos de um a seis. Ao lançar apenas um dado honesto: qual é a probabilidade de sair, digamos, um cinco?

É muito simples: há apenas uma face entre 6 marcadas com cinco pontos; portanto, a probabilidade P é:

P = 1/6

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Cálculo na probabilidade clássica

Essa maneira de calcular a probabilidade de um evento é uma aplicação da regra de Laplace, inicialmente declarada em 1812 pelo matemático francês Pierre de Laplace (1749-1827).

A regra de Laplace é usada na probabilidade clássica para calcular a probabilidade de um evento. Fonte: f. Zapata.

Seja um evento do qual queremos conhecer sua probabilidade de ocorrência p (a), então:

P (a) = número de casos favoráveis ​​ao evento A / número de casos possíveis

O resultado desta operação é sempre um número positivo entre 0 e 1. Se um evento tiver uma probabilidade de ocorrer, significa que não acontecerá.

Por outro lado, se a probabilidade de ocorrência for igual a 1, significa que isso acontecerá de qualquer forma e, em qualquer caso, a probabilidade de ocorrer um evento, acrescentado com a probabilidade de que não aconteça, é igual a 1 :

Aqui, denominamos a probabilidade de que o evento A não ocorra através de uma barra nas letras.

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Obviamente, em um dado legal, qualquer uma das 6 faces tem a mesma probabilidade de sair; portanto, a probabilidade de obter uma face com 5 deve ser 1/6.

Um detalhe importante é o seguinte: Para aplicar a regra de Laplace, o número de casos possíveis deve ser finito, ou seja, devemos ser capazes de contar e obter um número natural.

No exemplo dos dados, existem 6 casos possíveis e um único evento favorável. O conjunto de casos possíveis é chamado espaço amostral.

Ao aplicar a regra de Laplace, é conveniente analisar cuidadosamente o espaço da amostra, incluindo todos os eventos possíveis, ou seja, deve ser completa e arrumada, para que nenhum evento escape para ser contabilizado.

O espaço de amostra e os eventos

O espaço de amostra geralmente é indicado pela letra ou pela carta grega ω (Capital Omega) e foi um conceito introduzido por Galileu.

Um jogador de dados perguntou ao sábio porque é mais difícil obter um 9 lançamento de três dados do que um 10, então Galileu calculou as formas possíveis de obter um 9. Finalmente ele calculou as respectivas probabilidades, descobrindo que, na verdade, p (9) < P (10).

Amostra de espaço com poucos elementos

Se o espaço de amostra consistir em poucos elementos, eles são listados como um conjunto. Por exemplo, suponha que você queira encontrar a probabilidade de que, em uma família com dois filhos, ambos sejam do mesmo sexo.

Podemos aplicar a probabilidade clássica determinando corretamente o espaço da amostra. Se m = mulher e h = homem, o espaço de amostra das crianças é:

S = (m, m), (h, h), (m, h), (h, m)

Cada elemento do espaço da amostra é um evento, por exemplo, o evento (m, m) significa que os dois filhos desta família são mulheres.

Ter o espaço da amostra, calcular a probabilidade solicitada é muito simples, pois existem apenas 2 casos favoráveis ​​entre 4, de modo que ambas as crianças são do mesmo sexo: (M, M) e (H, H), portanto:

P (ambos os filhos do mesmo sexo) = 2/4 = 0.5

Amostra de espaço com muitos elementos

Quando o espaço da amostra consiste em muitos elementos, é melhor dar uma regra geral para encontrá -la. Por exemplo, se t é a vida útil de uma equipe, o espaço de amostra é:

S = t∕t ≥ 0

Que ele lê assim: "Todos os valores de T, de modo que T seja maior ou igual a 0". Um evento desse espaço pode ser que o dispositivo tenha uma vida útil de t = 2 anos.

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Exemplos de probabilidade clássica

A probabilidade clássica é aplicada, desde que as duas instalações indicadas acima sejam cumpridas, ou seja::

-Todos os eventos são igualmente prováveis.

-O espaço de amostra é finito.

Portanto, existem situações em que a probabilidade clássica não pode ser aplicada, como quando você deseja antecipar se o novo tratamento curará uma determinada doença ou a probabilidade de uma máquina produzir itens defeituosos.

Por outro lado, pode ser aplicado com sucesso nos seguintes casos:

Lançar

A probabilidade clássica surge do interesse das pessoas em jogar. Fonte: Pixabay.

Como vimos, a probabilidade de um certo rosto sair é igual a 1/6.

Pegue uma carta de um baralho

Temos um deck de 52 cartão de um baralho francês, composto por quatro paus: corações, trevos, diamantes e picas. Portanto, a probabilidade de extrair um coração, sabendo que existem 13 cartões de cada bastão é:

P (coração) = 13/52

Lançamento

É um exemplo típico de probabilidade clássica, pois ao lançar uma moeda, sempre há uma probabilidade igual a ½ de obter face ou carimbo.

Extraia mármores coloridos de uma bolsa 

Dentro de uma bolsa, pode haver mármores coloridos, por exemplo, existem mármores vermelhos, mármores azuis e gude de gude verde. A probabilidade de extrair um vermelho é:

P (r) = r / n

Exercícios resolvidos

- Exercício 1

Uma vez que um dado honesto é lançado. Calcule as seguintes probabilidades:

a) Desenhe um número ímpar.

b) Deixe um 2 ou 5 sair.

c) atingir um valor menor que 4.

d) obter um valor menor ou igual a 4.

e) atingir um valor diferente de 3

Solução para

O espaço da amostra é S = 1, 2, 3, 4, 5, 6, os valores ímpares são 1, 3 e 5, portanto, de 6 casos possíveis, existem três casos favoráveis:

P (ímpar) = 3/6 = 1/2 = 0.5

Solução b

Queremos extrair um 2 ou 5, ou seja, qualquer um desses casos é favorável, portanto:

P (2 ou 5) = 2/6 = 1/3 = 0.33

Solução c

Nesse caso, existem 3 eventos favoráveis: obtenha 1, 2 ou 3:

P (menor que 4) = 3/6 = ½ = 0.5

Solução d

Aqui está um evento favorável adicional, porque eles nos pedem valores mais baixos ou iguais que 4, então:

Pode atendê -lo: Acutangle Triangle

P (valor menor ou igual a 4) = 4/6 = 2/3 = 0.67

Solução e

Um lançamento diferente de 3 significa que qualquer um dos outros valores saiu:

- Exercício 2

Em uma caixa, há um azul, uma bola verde, um vermelho, um amarelo e um preto. Qual é a probabilidade de que, ao levar uma bola com os olhos, é amarelo?

Solução

O evento "E" é tirar uma bola da caixa com os olhos fechados (se for feito com olhos abertos, a probabilidade é 1) e que isso é amarelo.

Existe apenas um caso favorável, já que há apenas uma bola amarela. Os casos possíveis são 5, pois existem 5 bolas na caixa.

Portanto, a probabilidade do evento "e" é igual a p (e) = 1/5.

Como pode ser visto, se o evento for retirar uma bola azul, verde, vermelha ou preta, a probabilidade também será igual a 1/5. Portanto, este é um exemplo de probabilidade clássica.

Observação

Se houvesse 2 bolas amarelas na caixa, então P (e) = 2/6 = 1/3, enquanto a probabilidade de tirar uma bola azul, verde, vermelha ou preta seria igual a 1/6.

Como nem todos os eventos têm a mesma probabilidade, então este não é um exemplo de probabilidade clássica.

- Exercício 3

Qual é a probabilidade de que, ao lançar um dado, o resultado obtido seja igual a 5?

Solução

Um dado tem 6 faces, cada um com um número diferente (1,2,3,4,5,6). Portanto, existem 6 casos possíveis e apenas um caso é favorável.

Portanto, a probabilidade de que, ao lançar os dados, seja obtida 5 seja igual a 1/6.

Novamente, a probabilidade de obter qualquer outro resultado de dados também é igual a 1/6.

- Exercício 4

Em uma sala de aula, existem 8 meninos e 8 meninas. Se a professora escolher aleatoriamente um aluno em sua sala de estar, qual é a probabilidade de que o aluno escolhido seja uma garota?

Solução

O evento "E" é escolher um aluno aleatório. No total, existem 16 alunos, mas como você deseja escolher uma garota, há 8 casos favoráveis. Portanto, p (e) = 8/16 = 1/2.

Também neste exemplo, a probabilidade de escolher uma criança é 8/16 = 1/2.

Isto é, é tão provável que o aluno escolhido seja uma menina como um menino.

Referências

1. Agosto, a. Probabilidade. Universidade de Porto Rico. Recuperado de: documentos.UPRB.Edu.
2. Galindo, e. 2011. Estatísticas: métodos e aplicações. Editores procieções.
3. Jiménez, r. 2010. Matemática II. 2º. Edição. Prentice Hall.
4. TRIOLA, m. 2012. Estatísticas elementares. 11º. Edição. Addison Wesley.
5. Sangaku Maths. Regra de Laplace. Recuperado de: sangakoo.com.