Técnicas e exemplos de contagem de princípios multiplicativos

Qual é o princípio multiplicativo?

Ele princípio multiplicativo É uma técnica usada para resolver problemas de contagem para encontrar a solução sem que seja necessário listar seus elementos. Também é conhecido como o princípio fundamental da análise combinatória; É baseado em multiplicação sucessiva para determinar a maneira como um evento pode ocorrer.

Este princípio estabelece que, se uma decisão (d₁) Pode ser tomado de n maneiras e outra decisão (D₂) Mneras pode ser tomado, o número total de maneiras pelas quais as decisões d podem ser tomadas₁ e d₂ Será o mesmo que multiplicar de n _* m. De acordo com o princípio, cada decisão é tomada após outra: número de maneiras = n_{1 *} N₂.. _* N_x caminhos.

Exemplos

Exemplo 1

Paula planeja ir ao cinema com seus amigos e escolher as roupas que ela usará, separarão 3 blusas e 2 saias. Quantas maneiras de Paula se vestir?

• Solução

Nesse caso, Paula deve tomar duas decisões:

d₁ = Escolha entre 3 blusas = n

d₂ = Escolha entre 2 saias = m

Dessa forma, Paula tem n _* m decisões de fazer ou diferentes maneiras de se vestir.

n _* M = 3_* 2 = 6 decisões.

O princípio multiplicativo nasce da técnica do diagrama de árvores, que é um diagrama que relaciona todos os resultados possíveis, para que cada um possa ocorrer um número finito de vezes.

Exemplo 2

Mario estava com muita sede, então ele foi à padaria para comprar um suco. Luis serve a ele e diz que ele tem em dois tamanhos: grande e pequeno; e quatro sabores: maçã, laranja, limão e uvas. De quantas maneiras Mario podem escolher o suco?

• Solução

No diagrama, pode -se observar que Mario tem 8 maneiras diferentes de escolher o suco e que, como no princípio multiplicativo, esse resultado é obtido pela multiplicação de n_*m. A única diferença é que, através deste diagrama, você pode saber quais são as maneiras pelas quais Mario escolhe o suco.

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Por outro lado, quando o número de resultados possíveis é muito grande, é mais prático usar o princípio multiplicativo.

Técnicas de contagem

Técnicas de contagem são métodos usados ​​para fazer uma contagem direta e, assim, saiba o número de arranjos possíveis que os elementos de um conjunto específico podem ter. Essas técnicas são baseadas em vários princípios:

Princípio de adição

Este princípio estabelece que, se dois eventos M e N não puderem ocorrer ao mesmo tempo, o número de maneiras que o primeiro ou o segundo evento será a soma de M + n:

Número de formulários = m + n ... + x formas diferentes.

Exemplo

Antonio quer fazer uma viagem, mas não decide qual destino; Na Agência de Turismo do Sul, eles oferecem uma promoção para viajar para Nova York ou Las Vegas, enquanto a Agência de Turismo do Leste recomenda viajar para a França, Itália ou Espanha. Quantas alternativas de viagem diferentes oferecem Antonio?

Solução

Com a agência de turismo do sul, Antonio possui 2 alternativas (Nova York ou Las Vegas), enquanto com a Agência de Turismo do Leste, ele tem 3 opções (França, Itália ou Espanha). O número de alternativas diferentes é:

Número de alternativas = m + n = 2 + 3 = 5 alternativas.

Princípio da permutação

Trata -se de ordenar especificamente todos ou alguns dos elementos que formam um conjunto, para facilitar a contagem de todos os arranjos possíveis que podem ser feitos com os elementos.

O número de permutações de N diferentes elementos, tomados de uma só vez, é representado como:

_nP_n = n!

Exemplo

Quatro amigos querem tirar uma foto e querem saber quantas maneiras diferentes podem ser encomendadas.

Solução

Você quer saber o conjunto de todas as maneiras possíveis pelas quais as 4 pessoas podem ser colocadas para tirar a fotografia. Assim, você tem que:

₄P₄ = 4! = 4_*3_*2_*1 = 24 maneiras diferentes.

Se o número de permutações de n elementos disponíveis for tomado por partes de um conjunto formado por R Elements, ele será representado como:

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_nP_{R =} n! ÷ (n - r)!

Exemplo

Em uma sala de aula, você tem 10 posições. Se 4 estudantes comparecer?

Solução

O número total de cadeiras definidas é 10, e estes serão usados ​​apenas 4. A fórmula fornecida é aplicada para determinar o número de permutações:

_nP_r = n! ÷ (n - r)!

₁₀P₄ = 10! ÷ (10 - 4)!

₁₀P₄ = 10! ÷ 6!

₁₀P₄= 10_* 9_*8_*7_*6_*5_*4_*3_*2_*1 ÷ 6_*5_*4_*3_*2_*1 = 5040 maneiras de ocupar as posições.

Há casos em que alguns dos elementos disponíveis de um conjunto são repetidos (eles são iguais). Para calcular o número de arranjos que levam todos os elementos ao mesmo tempo, a seguinte fórmula é usada:

_nP_r = n! ÷ n₁!_* n₂!… N_r!

Exemplo

Quantas palavras diferentes de quatro letras podem ser formadas a partir da palavra "lobo"?

Solução

Nesse caso, existem 4 elementos (letras) dos quais dois são exatamente iguais. Aplicando a fórmula fornecida, sabe -se quantas palavras diferentes são:

_nP_r = n! ÷ n₁!_* n₂!… N_r!

₄P_{2, 1.1} = 4! ÷ 2!_*1!_*1!

₄P_{2, 1, 1} = (4_*3_*2_*1) ÷ (2_*1)_*1_*1

₄P_{2, 1, 1} = 24 ÷ 2 = 12 palavras diferentes.

Princípio de combinação

Trata -se de consertar todos ou alguns dos elementos que formam um conjunto sem um pedido específico. Por exemplo, se você tiver um arranjo XYZ, isso será idêntico a arranjos ZXY, YZX, Zyx, entre outros; Isso ocorre porque, apesar de não estar na mesma ordem, os elementos de cada arranjo são os mesmos.

Quando alguns elementos (r) do conjunto (n) são tomados, o princípio da combinação é dado pela seguinte fórmula:

_nC_{R =} n! ÷ (n - r)!r!

Exemplo

Em uma loja, eles vendem 5 tipos diferentes de chocolate. Quantas maneiras diferentes de 4 chocolates podem ser escolhidos?

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Solução

Nesse caso, você deve escolher 4 chocolates dos 5 tipos que vendem na loja. A ordem em que são escolhidos não importa e, além disso, um tipo de chocolate pode ser escolhido mais que o dobro. Aplicando a fórmula, você precisa:

_nC_r = n! ÷ (n - r)!r!

₅C₄ = 5! ÷ (5 - 4)! 4!

₅C₄ = 5! ÷ (1)!4!

₅C₄ = 5_*4_*3_*2_*1 ÷ 4_*3_*2_*1

₅C₄ = 120 ÷ 24 = 5 maneiras diferentes de escolher 4 chocolates.

Quando todos os elementos (r) do conjunto (n) são tomados, o princípio da combinação é dado pela seguinte fórmula:

_nC_{n =} n!

Exercícios resolvidos

Exercício 1

Você tem um time de beisebol com 14 membros. De quantas maneiras as 5 posições podem ser atribuídas para um jogo?

• Solução

O conjunto é composto de 14 elementos e você deseja atribuir 5 posições específicas; isto é, a ordem é importante. A fórmula de permutação é aplicada onde n elementos disponíveis são tirados por partes de um conjunto que é formado por r.

_nP_{R =} n! ÷ (n - r)!

Onde n = 14 e r = 5. É substituído na fórmula:

₁₄P₅ = 14! ÷ (14 - 5)!

₁₄P₅ = 14! ÷ (9)!

₁₄P₅ = 240 240 maneiras de atribuir as 9 posições do jogo.

Exercício 2

Se uma família de 9 membros faz uma viagem e compra seus ingressos com posições consecutivas, quantas maneiras diferentes podem sentar?

• Solução

São 9 elementos que ocuparão 9 assentos consecutivamente.

P₉ = 9!

P₉ = 9_*8_*7_*6_*5_*4_*3_*2_*1 = 362 880 maneiras diferentes de sentar.

Referências

1. Hopkins, b. (2009). Recursos para o ensino de matemática discreta: projetos de sala de aula, módulos de história e artigos.
2. Johnsonbaugh, r. (2005). Matemática Discreta. Pearson Education,.
3. Lutfiyya, l. PARA. (2012). Solucionador de problemas matemáticos finitos e discretos. Editores da Associação de Pesquisa e Educação.
4. Padró, f. C. (2001). Matemática Discreta. Politèc. de Catalunha.
5. Steiner, e. (2005). Matemática para Ciências Aplicadas. Reverte.