Histórico de números reais, exemplos, propriedades, operações

O numeros reais Eles constituem o conjunto numérico que abrange números naturais, números inteiros, racionais e irracionais. Eles são denotados com o símbolo ℝ ou simplesmente R E o alcance que eles têm na ciência, engenharia e economia é tal que, ao falar sobre "número", é quase assumido que é um número real.

Os números reais foram usados ​​desde os tempos antigos, embora não tenham recebido esse nome. Desde o momento em que Pitágoras desenvolveu seu famoso teorema, surgiram números que não puderam ser obtidos como números bastante naturais ou números inteiros.

figura 1. Diagrama de Venn mostrando como o conjunto de números reais contém os outros conjuntos numéricos. Fonte> Wikimedia Commons.

Exemplos de números são √2, √3 e π. Esses números são chamados irracional, Em contraste com os números racionais, que provêm de quocientes entre números inteiros. Era necessário, portanto, um conjunto numérico que cobre os dois tipos de números.

O termo "número real" foi criado pelo grande matemático René Descartes (1596-1650), para distinguir entre os dois tipos de raízes que podem surgir da solução de uma equação polinomial.

Algumas dessas raízes podem ser pares de números negativos, esses Descartes os chamavam de "números imaginários" e aqueles que não eram, eram números reais.

A denominação persistiu ao longo do tempo, dando origem a dois grandes conjuntos numéricos: números reais e números complexos, um conjunto mais amplo que inclui números reais, imaginários e aqueles que estão em real e parcialmente imaginária.

A evolução dos números reais continuou seu curso até em 1872, o matemático Richard Dedekind (1831-1936) definiu com toda a formalidade o conjunto de números reais através das chamadas Cortiças Dedekind. A síntese de seu trabalho foi publicada em um artigo que viu a luz no mesmo ano.

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Exemplos de números reais

A tabela a seguir mostra exemplos de números reais. Este conjunto tem como subconjunto para números naturais, números inteiros, racionais e irracionais. Qualquer número desses conjuntos é, por si só, um número real.

Portanto, os 0, os negativos, as frações positivas e decimais são números reais.

Figura 2. Exemplos de números reais são os nativos, os números inteiros, os racionais, os irracionais e os transcendentes. Fonte: f. Zapata.

Representação de números reais na linha real 

Números reais podem ser representados na linha real R, Como a imagem mostra. Não é necessário que o 0 esteja sempre presente, no entanto, é conveniente saber que os reais negativos estão à sua esquerda e à direita o positivo. É por isso que é um excelente ponto de referência.

Na linha real, é obtida uma escala, na qual os números inteiros são encontrados:… 3, -2, -1, 1, 2, 3… . A seta indica que a linha se estende ao infinito. Mas isso não é tudo, em nenhum intervalo considerado, sempre encontraremos números reais infinitos.

Números reais são representados em ordem. Para começar, há a ordem de números inteiros, em que positivo.

Esta ordem permanece dentro dos números reais. As seguintes desigualdades são mostradas como um exemplo:

a) -1/2 < √2

ser < π

c) π> -1/2

Figura 3.- A linha real. Fonte: Wikimedia Commons.

Propriedades de números reais

-Números reais incluem números naturais, números inteiros, racionais e irracionais.

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-A propriedade comutativa da soma é cumprida: a ordem dos adiçãos não altera a soma. Se A e B são dois números reais, é sempre verdade que:

A + b = b + a

-0 é o elemento neutro da soma: a + 0 = a

-A propriedade associativa é atendida para a soma. Se A, B e C são números reais: (a + b) + c = a + (b + c).

-O oposto de um número real A é -a.

-A subtração é definida como a soma do oposto: a - b = a + (-b).

-A propriedade comutativa do produto é cumprida: a ordem dos fatores não altera o produto: a.b = b.para

-A propriedade associativa também é aplicada ao produto: (a.b).C = a.(b.c)

-O 1 é o elemento neutro da multiplicação: um.1 = a

-A propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição é válida: a. (B+C) = A.b + a.c

-A divisão por 0 não está definida.

-Qualquer número real A, exceto 0, tem inverso multiplicativo para^-1 tais que a.para^-1 = 1.

-Se A é um número real: A⁰ = 1 e um¹ = a.

-O valor ou módulo absoluto de um número real é a distância entre o referido número e 0.

Operações com números reais

Com os números reais, você pode fazer as operações feitas com outros conjuntos numéricos, incluindo soma, subtração, multiplicação, divisão, aprimoramento, radiação, logaritmos e muito mais.

Como sempre, a divisão por 0 não é definida, também não há logaritmos de números negativos ou 0, embora seja verdade que o log 1 = 0 e que os logaritmos de números entre 0 e 1 são negativos.

Formulários

As aplicações de números reais para todos os tipos de situações são extremamente variados. Números reais aparecem em resposta a muitos problemas em ciências exatas, computador, engenharia, economia e ciências sociais.

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Todos os tipos de magnitudes e quantidades, como distâncias, tempos, forças, intensidade sonora, dinheiro e muito mais, têm sua expressão em números reais.

A transmissão de sinais telefônicos, a imagem e o som de um vídeo, a temperatura de um ar condicionado, um aquecedor ou uma geladeira podem ser controlados digitalmente, o que significa transformar magnitudes físicas em seqüências numéricas.

O mesmo acontece quando uma transação bancária é feita online ou mensagens instantâneas é consultada. Os números reais estão em toda parte.

Exercício resolvido

Vamos ver com exercícios como esses números funcionam em situações comuns com as quais somos diários.

Exercício 1

Os correios aceitam apenas pacotes para os quais o comprimento, mais a medição de contorno, não excede 108 polegadas. Portanto, para o pacote demonstrado ser aceito, deve -se cumprir que:

L + 2 (x + y) ≤ 108

a) Você passará por um pacote que mede 6 polegadas de largura, 8 polegadas de altura e 5 pés de comprimento?

b) Que tal um que meça 2 x 2 x 4 pés³?

c) Qual é o mais alto aceitável para um pacote cuja base é quadrada e mede 9 x 9 polegadas²?

Responda para

L = 5 pés = 60 polegadas

x = 6 polegadas

y = 8 polegadas

A operação a ser resolvida é:

L + 2 (x + y) = 60 + 2 (6 + 8) polegadas = 60 + 2 x 14 polegadas = 60 + 28 polegadas = 88 polegadas

O pacote é aceito.

Resposta b

As dimensões deste pacote são inferiores às do pacote a), então ambos conseguem passar.

Resposta c

Neste pacote:

x = L = 9 polegadas

Deve -se cumprir que:

9+ 2 (9+ y) ≤ 108

27 + 2y ≤ 108

2y ≤ 81

e ≤ 40.5 polegadas

Referências

1. Carena, m. 2019. Manual de matemática da pré -universidade. Universidade Nacional da Costa.
2. Diego, a. Números reais e suas propriedades. Recuperado de: matemática.Uns.Edu.ar.
3. Figuera, j. 2000. Matemática 9. Grau. Edições Co-Bo.
4. Jiménez, r. 2008. Álgebra. Prentice Hall.
5. Stewart, J. 2006. Preccculment: Matemática para Cálculo. 5 ª. Edição. Cengage Learning.