Propriedades, exemplos e operações de números racionais

O números racionais São todos os números que podem ser obtidos como a divisão de dois números inteiros. Exemplos de números racionais são: 3/4, 8/5, -16/3 e aqueles que aparecem na figura a seguir. Em um número racional, o quociente é indicado, sendo possível fazê -lo mais tarde, se necessário.

Na figura, qualquer objeto é representado, redondo para conforto. Se queremos dividi -lo em 2 partes iguais, pois à direita, temos duas metades e cada uma é 1/2.

figura 1. Números racionais são usados ​​para dividir o todo em várias partes. Fonte: Freesvg.

Ao dividi -lo em 4 partes iguais, obteremos 4 peças e cada uma vale 1/4, como na imagem do centro. E se você precisar distribuí -lo em 6 partes iguais, cada parte valeria 1/6, que vemos na imagem à esquerda.

Obviamente, também poderíamos dividi -lo em duas peças não equais, por exemplo, poderíamos manter 3/4 partes e salvar 1/4 parte. Outras divisões também são possíveis, como 4/6 partes e 2 partes. O importante é que a soma de todas as partes é 1.

Dessa forma, é evidente que, com números racionais, você pode dividir, contar e distribuir coisas como comida, dinheiro, terra e todos os tipos de objetos em frações. E assim a quantidade de operações que podem ser feitas com os números é estendida.

Os números racionais também podem ser expressos decimalmente, como pode ser visto nos seguintes exemplos:

1/2 = 0,5

1/3 = 0,3333…

3/4 = 0,75

1/7 = 0,142857142857142857…

Mais tarde, indicamos como passar de um jeito para outro com exemplos.

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Propriedades de números racionais

Os números racionais, cujo conjunto indicaremos com a letra q, têm as seguintes propriedades:

-Q inclui números naturais n e n números inteiros.

Levando em consideração que qualquer número para Pode ser expresso como o quociente entre si e 1, é fácil ver que também existem números naturais e inteiros.

Assim, o número natural 3 pode ser escrito como uma fração e também -5:

3 = 3/1

-5 = -5/1 = 5/-1 = -(5/1)

Dessa maneira que é um conjunto numérico que cobre um número maior de números, algo muito necessário, coloque os números "redondos" não são suficientes para descrever todas as operações possíveis para fazer.

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-Os números racionais podem ser adicionados, subtraídos, multiplicando e dividindo, o resultado da operação sendo um número racional: 1/2 + 1/5 = 7/10; 1/2 - 1/5 = 3/10; (1/2) x (1/5) = 1/10; (1/2) ÷ (1/5) = 5/2.

-Entre cada par de números racionais, outro número racional sempre pode ser encontrado. De fato, entre dois números racionais, existem infinitos racionais. 

Por exemplo, entre 1/4 racional e 1/2 são racionais 3/10, 7/20, 2/5 (e muito mais), que podem ser verificados expressando -os como decimais.

-Qualquer número racional pode ser expresso como: i) um número inteiro ou ii) um decimal limitado (rigoroso) ou jornal: 4/2 = 2; 1/4 = 0,25; 1/6 = 0,1666666…

-O mesmo número pode ser representado por frações equivalentes infinitas e todos eles pertencem a q. Vejamos este grupo:

Todos representam o decimal 0.428571 ..

-Entre todas as frações equivalentes que representam o mesmo número, a fração irredutível, a mais simples de todos, é o Representante canônico desse número. O representante canônico do exemplo anterior é 3/7.

Figura 2.- O conjunto Q de números racionais. Fonte: Wikimedia Commons. UVM Eduardo Artur/CC BY-S (https: // CreativeCommons.Org/licenças/BY-SA/4.0).

Exemplos de números racionais

-Próprios frações, aquelas em que o numerador é menor que o denominador:

-Frações impróprias, cujo numerador é maior que o denominador:

-Números naturais e números inteiros:

-Frações equivalentes:

Representação decimal de um número racional

Quando o numerador é dividido entre o denominador é a forma decimal do número racional. Por exemplo:

2/5 = 0.4

3/8 = 0.375

1/9 = 0.11111 ..

6/11 = 0.545454…

Nos dois primeiros exemplos, a quantidade de decimais é limitada. Isso significa que, quando a divisão é feita, um descanso é obtido.

Por outro lado, nos próximos dois, o número de decimais é infinito e é por isso que os pontos suspeitos são colocados. Neste último caso, há um padrão nas decimais. No caso da fração 1/9, a Figura 1 é repetida indefinidamente, enquanto em 6/11 é 54.

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Quando isso acontece, diz -se que o decimal é jornal e é indicado pelo sotaque circunflexo da seguinte forma:

Transforme uma fração decimal

Se for um decimal limitado, a vírgula é simplesmente eliminada e o denominador se torna a unidade seguida por tantos zeros quanto as figuras têm o decimal. Por exemplo, para transformar a decimal 1.26 em fração, está escrito assim:

1.26 = 126/100

Então a fração resultante é simplificada ao máximo:

126/100 = 63/50

Se o decimal for ilimitado primeiro, o período for identificado. Em seguida, essas etapas são seguidas para encontrar a fração resultante:

-O numerador é a subtração entre o número (sem coma ou sotaque circunflexo) e a parte que não carrega o sotaque circunflexo.

-O denominador é um número inteiro com tantos 9 quanto os números estão sob o circunflexo e tantos ou figuras na parte decimal que não estão sob o circunflexão.

Vamos seguir este procedimento para transformar o número decimal 0.428428428… em fração.

-Primeiro, o período é identificado, que é a sequência que é repetida: 428.

-Em seguida, a operação de subtrair o número sem coma ou um sotaque é feito: 0428 da parte que não possui circunflexo, que é 0. Isso é 428 - 0 = 428.

-O denominador é construído, sabendo que, sob o circunflexo, existem 3 figuras e todos estão sob o circunflexo. Portanto, o denominador é 999.

-Finalmente, a fração é formada e simplificada, se possível:

0.428 = 428/999

Não é possível simplificar mais.

Operações de números racionais

- Adição e subtração

Frações com o mesmo denominador

Quando as frações tiverem o mesmo denominador, adicione -as e/ou subtrai -las é muito fácil, porque os numeradores são simplesmente adicionados algebricamente, deixando como denominador do resultado com a mesma das adições. Finalmente, se possível, é simplificado.

Exemplo

Realize a seguinte soma algébrica e simplifique o resultado:

A fração resultante já é irredutível.

Frações com denominador diferente

Nesse caso, os addores são substituídos por frações equivalentes com o mesmo denominador e o procedimento já está descrito. 

Exemplo

Adicione algebraicamente os seguintes números racionais, simplificando o resultado:

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As etapas são:

-Determine o múltiplo comum mínimo (MCM) dos denominadores 5, 8 e 3:

MCM (5,8,3) = 120

Este será o denominador da fração resultante sem simplificar.

-Para cada fração: divida o MCM entre o denominador e multiplique pelo numerador. O resultado desta operação é colocado, com seu respectivo sinal, no numerador de fração. Dessa maneira, uma fração equivalente ao original é obtida, mas com o MCM como denominador.

Por exemplo, para a primeira fração, o numerador é construído assim: (120/5) x 4 = 96 e é obtido:

Prossiga da mesma maneira para as frações restantes:

Finalmente, as frações equivalentes são substituídas sem esquecer o sinal e a soma algébrica dos numeradores é feita:

(4/5) + (14/8) - (11/3) + 2 = (96/120) + (210/120) - (440/120) + (240/120) =

= (96+210-440+24) / 120 = -110 / 120 = -11/12

- Multiplicação e divisão

Multiplicação e divisão são feitas seguindo as regras mostradas abaixo:

Figura 3. Regras para realizar a multiplicação e divisão de números racionais. Fonte: f. Zapata.

De qualquer forma, é importante lembrar que a multiplicação é comutativa, o que significa que a ordem dos fatores não altera o produto. Isso não acontece com a divisão, então você deve tomar cuidado para respeitar a ordem entre dividendo e divisor.

Exemplo 1

Realize as seguintes operações e simplifique o resultado:

a) (5/3) x (8/15)

b) (-4/5) ÷ (2/9)

Responda para

(5/3) x (8/15) = (5 x 8)/(3 x 15) = 15/120 = 1/8

Resposta b

(-4/5) ÷ (2/9) = (-4 x 9)/(5 x 2) = -36/10 = -18/5

Exemplo 2     

Luisa tinha $ 45. Ele passou um décimo comprando um livro e 2/5 partes do que restava em uma camisa. Quanto dinheiro Luisa deixou? Expressar o resultado em fração irredutível.

Solução

O custo do livro (1/10) x 45 $ = 0.1 x 45 $ = 4.5 $

Portanto, Luisa ficou com:

45 - 4.5 $ = 40.5 $

Com esse dinheiro, Luisa foi à loja de roupas e comprou a camisa, cujo preço é:

(2/5) x 40.5 $ = 16.2 $

Agora Luisa tem no portfólio:

40.5 - 16.2 $ = 24.3 $

Para expressá -lo em fração, está escrito assim:

24.3 = 243/10

Isso é irredutível.

Referências

1. Baldor, a. 1986. Aritmética. Edições e distribuições Codex.
2. Carena, m. 2019. Manual de Matemática. Universidade Nacional da Costa.
3. Figuera, j. 2000. Matemática 8. Edições Co-Bo.
4. Jiménez, r. 2008. Álgebra. Prentice Hall.
5. Números racionais. Recuperado de: CIMAnet.UOC.Edu.
6. Números racionais. Recuperado de: webdelprofesor.Ula.ir.