Números perfeitos como identificá -los e exemplos

A Número perfeito é um número natural de tal forma que A soma de seus divisores é a mesma que o número. Obviamente não pode ser incluído entre os divisores do próprio número.

Um dos exemplos mais simples de número perfeito é 6, pois seus divisores são: 1, 2 e 3. Se adicionarmos os divisores, é obtido: 1 + 2 + 3 = 6.

figura 1. O número 6 é perfeito, porque a soma de seus divisores, sem incluir o número em si, dá o número 6. Fonte: Self feito

A soma dos divisores de um número inteiro, não incluindo o próprio número, é chamado alíquota. Portanto, um número perfeito é igual à sua alíquota.

Mas se na soma dos divisores de um número o próprio número estiver incluído, um número perfeito será o que a soma de todos os seus divisores divididos por 2 é igual ao próprio número.

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História

Os matemáticos da antiguidade, particularmente os gregos, deram grande importância aos números perfeitos e às qualidades divinas atribuídas.

Por exemplo, Philo de Alejandría, por volta do século I, afirmou que 6 e 28 são números perfeitos que coincidem com os seis dias da criação do mundo e os vinte dias que leva para a lua se virar à terra.

Os números perfeitos também estão presentes na natureza, por exemplo, no pólo norte de Saturno, também parece o número 6 perfeito, um vórtice em forma de hexágono encontrado pela investigação da Cassini e que se intrigou aos cientistas. 

Os favos de mel de abelhas têm células em forma hexagonal, ou seja, com 6 lados.  É mostrado que o polígono com o número 6 perfeito é o que permite maximizar o número de células na colméia de abelhas, com a cera mínima para sua elaboração.

Figura 2. O número 6 perfeito está presente no favo de mel de abelhas. É mostrado que, com esse número de lados, a quantidade de cera a ser usada para formar as células é mínima. Fonte: Pixabay.

Propriedades de números perfeitos

A soma de todos os divisores de um número natural n é denotada por σ (n). Em um número perfeito, é verdade que: σ (n) = 2n.

Fórmula e critérios euclides

Euclides descobriu uma fórmula e um critério que permite encontrar os números perfeitos. Esta fórmula é:

2^(N-1) (2ⁿ -1)

No entanto, o número gerado pela fórmula será perfeito apenas quando o fator (2ⁿ -1) Seja primo.

Pode atendê -lo: componentes retangulares de um vetor (com exercícios)

Vamos ver como os primeiros números perfeitos são gerados:

Se n = 2, então temos 2¹ (2² - 1) = 2 x 3 = 6 que já vimos que é perfeito.

Quando n = 3 você tem 2² (2³ - 1) = 4 x 7 = 28, que também é perfeito, pois é verificado em detalhes no Exemplo 1.

Vamos ver o que acontece com n = 4. Substituindo a fórmula euclides que temos:

2³ (2⁴ - 1) = 8 x 15 = 120

Pode -se verificar se esse número não é perfeito, como mostrado em detalhes no Exemplo 3. Isso não contradiz os critérios de Euclides, pois 15 não é um primo, um requisito necessário para que o resultado seja um número perfeito.

Vamos ver o que acontece quando n = 5. Aplicando a fórmula que temos:

2⁴ (2⁵ - 1) = 16 x 31 = 496

Como 31 é um número primo, então o número 496 deve ser perfeito, de acordo com os critérios de Euclides. No Exemplo 4, é mostrado em detalhes que é efetivamente.

Os números primos que têm o formulário 2^p - 1 Eles são chamados primos de Mersenne, em homenagem ao monge Marin Mersenne, que estudou os números primos e os números perfeitos no século XVII.

Posteriormente, no século XVIII, Leonhard Euler mostrou que todo número perfeito gerado pela fórmula Euclides são pares.

Até o momento, foi encontrado um perfeito que é estranho.

O maior número perfeito conhecido

Para a data atual 51 números perfeitos são conhecidos, todos gerados pelos critérios de fórmula e euclides. Este número foi obtido quando o primo de Mersenne foi encontrado, que é: (2^82589933 - 1).

O número perfeito #51 é (2^82589933) X (2^82589933 - 1) e tem 49724095 Digitos.

Um número perfeito é amigo de si mesmo

Dizem que dois números são amigos quando a soma dos divisores de um, não incluindo o próprio número, é igual ao outro número e vice -versa.

Pode atendê -lo: segmento de linha e semi -rio

O leitor pode verificar se a soma dos divisores de 220, sem incluir o 220 é 284. Por outro lado, a soma dos divisores de 284, sem incluir 284, é igual a 220. Portanto, os números casal 220 e 284 são amigos.

Desse ponto de vista, um número perfeito é amigo de si mesmo.

Exemplos de números perfeitos

Em seguida, os oito primeiros números perfeitos estão listados:

6

28

496

8128

33550336

8589869056

137438691328

2305843008139952128

Exercícios

Nos exercícios seguintes, será necessário calcular os divisores de um número e depois fazer a soma deles e verificar se o número é um número perfeito ou não.

Portanto, antes de abordar os exercícios, revisaremos o conceito e mostraremos como eles são calculados.

Para começar, você deve lembrar que os números podem ser primos (quando eles só podem ser divididos em exato consigo mesmo e 1) ou compostos (quando podem se decompor como um produto de números primos).

Para um número composto n que você tem:

N = aⁿ . b^m. c^p … R^k 

Onde a, b, c ... r são números primos e n, m, p ... k são expoentes pertencentes a números naturais, que podem valer a partir de 1.

Em termos desses expoentes, há uma fórmula para saber quantos divisores o número n tem, embora não nos diga o que são estes. Seja c esse valor, então:

C = (n +1) (m +1) (p +1) ... (k +1)

A decomposição do número n como um produto de números primos e o conhecimento de quantos divisores tem, tanto primos quanto não -cousins, nos ajudarão a determinar o que esses divisores são.

Uma vez que todos tenham, exceto o último que não é necessário na soma, pode -se verificar se é um número perfeito ou não.

- Exercício 1

Verifique se o número 28 é perfeito.

Solução

O primeiro será decompor o número em seus principais fatores.

28 | 2
14 | 2
07 | 7
01 | 1

Seus divisores são: 1, 2, 4, 7, 14 e 28. Se excluirmos em 28 a soma dos divisores dá:

Pode atendê -lo: metade dos 15

1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 3 + 4 + 7 + 14 = 7 + 7 + 14 = 14 + 14 = 28

Portanto, o 28 é um número perfeito.

Além disso, a soma de todos os seus divisores é 28 + 28, então a regra σ (28) = 2 x 28.

- Exercício 2

Decida se o número 38 é perfeito ou não.

Solução

O número é dividido em seus principais fatores:

39 | 3
13 | 13
01 | 1

Os divisores de 39 sem incluir o número em si são: 1, 3 e 13. Soma 1 + 3 + 13 = 4 + 13 = 17 não é igual a 39, portanto 39 é um número imperfeito ou não perfeito. 

- Exercício 3

Descubra se o número 120 é perfeito ou imperfeito.

Solução

O número é dividido em seus principais fatores:

120 | 2
060 | 2
 30 | 2
 15 | 3
  5 | 5
  1 | 1

A partir dos principais fatores, os divisores são encontrados:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60 e 120

Se 120 foram perfeitos ao adicionar todos os seus divisores, devem ser obtidos 2 x 120 = 240. 

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 8 + 10 + 12 + 15 + 20 + 24 + 30 + 40 + 60 + 120 = 360

Este resultado é claramente diferente de 240, então conclui -se que o número 120 não é um número perfeito.

- Exercício 4

Verifique se o número 496, obtido pelos critérios de Euclides, é um número perfeito.

Solução

O número 496 é dividido em seus principais fatores:

496 | 2
248 | 2
124 | 2
062 | 2
031 | 31
001 | 1

Então seus divisores são:

1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248, 496

Agora todos eles são adicionados, exceto 496:

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 = 496

Confirmando que é realmente um número perfeito.

Referências

1. Baldor, a. 1986. Aritmética. Edições e distribuições Codex.
2. Tudo sobre números primos. Números de amigos. Recuperado de: enfermeira.org.
3. Wolfram Mathworld. Regra de Euler. Recuperado de: Mathworld.Volfrâmio.com.
4. Wolfram Mathworld. Número perfeito. Recuperado de: Mathworld.Volfrâmio.com.
5. Wikipedia. Números perfeitos. Recuperado de: em.Wikipedia.org.
6. Wikipedia. Números de amigos. Recuperado de: é.Wikipedia.org.