Números irracionais História, propriedades, classificação, exemplos

O números irracionais São aqueles cuja expressão decimal tem figuras infinitas sem um padrão repetitivo; portanto, não podem ser obtidos ao fazer o quociente entre dois números inteiros.

Entre os números irracionais mais conhecidos estão:

figura 1. De cima para baixo Os seguintes números irracionais: Pi, o número de Euler, a Aúrea e duas raízes quadradas. Fonte: Pixabay.

Entre eles, sem dúvida π (pi) é o mais familiar, mas há muito mais. Todos eles pertencem ao conjunto de números reais, que é o conjunto numérico que reúne números racionais e irracionais.

Os pontos suspeitos da Figura 1 indicam que os decimais seguem indefinidamente, o que acontece é que o espaço das calculadoras atuais apenas permite mostrar alguns.

Se olharmos com cuidado, desde que façamos o quociente entre dois números inteiros, um decimal com números limitados é obtido ou, se não, com figuras infinitas em que uma ou mais elas são repetidas. Bem, isso não acontece com números irracionais.

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História de números irracionais

O grande matemático da antiguidade Pitágoras, nascido em 582 para.C em Samos, a Grécia, fundou a Escola de Pitagórica de Pitagóricos e descobriu o famoso teorema que leva seu nome. Temos isso à esquerda (os babilônios já poderiam conhecê -lo muito antes).

Figura 2. Teorema de Pitágoras aplicado a um triângulo de lados igual a 1. Fonte: Pixabay/Wikimedia Commons.

Bem, quando Pitágoras (ou provavelmente um discípulo dele) aplicou o teorema a um triângulo direito dos lados igual a 1, encontrou o número irracional √2.

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Ele fez desta maneira:

C = √1² + 1² = √1+1 = √2

E ele imediatamente percebeu que esse novo número não veio do quociente entre dois outros números naturais, que eram aqueles que eram conhecidos naquele momento.

Portanto, ele o chamou irracional, E a descoberta causou grande ansiedade e confusão entre os pitagóricos.

Propriedades de números irracionais

-O conjunto de todos os números irracionais é indicado com a letra I e às vezes gosto de q* ou q^C. A união entre os números irracionais I ou Q* e os números racionais q dá origem ao conjunto de números N Reais.

-Com números irracionais, operações aritméticas conhecidas podem ser realizadas: soma, subtração, multiplicação, divisão, potencialização e muito mais.

-A divisão entre 0 não é definida entre números irracionais.

-A soma e o produto entre números irracionais não são necessariamente outro número irracional. Por exemplo:

√2 x √8 = √16 = 4

E 4 não é um número irracional.

-No entanto, a soma de um número racional mais um irracional resulta em um irracional. Desta maneira:

1 + √2 = 2.41421356237…

-O produto de um número racional diferente de 0 por um número irracional também é irracional. Vejamos este exemplo:

2 x √2 = 2.828427125…

-O inverso de um resultado irracional em outro número irracional. Vamos tentar alguns:

1 / √2 = 0.707106781…

1 / √3 = 0.577350269…

Esses números são interessantes porque também são os valores de algumas razões trigonométricas de ângulos conhecidos. Muitas das razões trigonométricas são números irracionais, mas há exceções, como sen 30º = 0.5 = ½, que é racional.

-Na soma, as propriedades comutativas e associativas são atendidas. Se A e B são dois números irracionais, isso significa que:

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A + b = b + a.

E se C é outro número irracional, então:

(A + b) + c = a + (b + c).

-A propriedade distributiva da multiplicação em relação à soma é outra propriedade conhecida que também é atendida para números irracionais. Neste caso:

para.(B+C) = A.b + a.c.

-Um irracional para ter seu oposto: -a. Quando o resultado é adicionado, é 0:

A+(-a) = 0

-Entre dois racionais diferentes, há pelo menos um número irracional.

Localização de um número irracional na linha real

A linha real é uma linha horizontal onde os números reais estão localizados, dos quais os irracionais são uma parte importante.

Para encontrar um número irracional na linha real, de forma geométrica, podemos valer o teorema de Pitágoras, uma regra e uma bússola.

Como exemplo, vamos localizar √5 na linha real, para a qual desenhamos um triângulo retângulo de lados x = 2 e y = 1, Como a imagem mostra:

Figura 3. Método para localizar um número irracional na linha real. Fonte: f. Zapata.

Para o teorema de Pitágoras, a hipotenusa de um triângulo é:

C = √2² + 1² = √4+1 = √5

Agora a batida com a ponta é colocada em 0, onde também há um dos vértices do triângulo certo. A ponta do lápis da bússola deve estar no vértice para.

É desenhado um arco de circunferência que corta a linha real. Como a distância entre o centro da circunferência e qualquer ponto do mesmo é o raio, que vale √5, o ponto de interseção também é √5 do centro.

Do gráfico é visto que √5 está entre 2 e 2.5. Uma calculadora nos oferece o valor aproximado de:

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√5 = 2.236068

E assim, construindo um triângulo com os lados apropriados, outros irracionais podem ser localizados, como √7 e outros.

Classificação de números irracionais

Números irracionais são classificados em dois grupos:

-Algébrico

-Transcendente ou transcendental

Números algébricos

Números algébricos, que podem ser irracionais ou não, são soluções de equações polinomiais cuja forma geral é:

para_n xⁿ + para_N-1x^N-1 + para_N-2x^N-2 +.. . +para₁x + a_qualquer = 0

Um exemplo de equação polinomial é uma equação de segundo grau como esta:

x³ - 2x = 0

É fácil demonstrar que o número irracional √2 é uma das soluções desta equação.

Números transcendentes

Em vez disso, números transcendentes, embora irracionais, nunca surgem como uma solução de uma equação polinomial.

Os números transcendentes encontrados com mais frequência na matemática aplicada são π, para sua relação com a circunferência e o número E, ou número Euler, que é a base dos logaritmos neperianos.

Exercício

Em um quadrado preto, um cinza é colocado na posição indicado na figura. Sabe -se que a superfície do quadrado preto é de 64 cm². Quanto custam os comprimentos de ambos os quadrados?

Figura 4. Dois quadrados, dos quais o comprimento dos lados pode ser encontrado. Fonte: f. Zapata.

Responder

A superfície de um quadrado de lado L é:

A = l²

Como o quadrado preto é 64 cm² de área, seu lado deve ser de 8 cm.

Esta medida é a mesma que A diagonal do quadrado cinza. Aplicando o teorema de Pitágoras a essa diagonal e lembrando que os lados de um quadrado medem iguais, teremos:

8² = L_g² + eu_g²

Onde l_g É o lado do quadrado cinza.

Portanto: 2L_g² = 8²

Aplicando raiz quadrada em ambos os lados da igualdade:

eu_g = (8/√2) cm

Referências

1. Carena, m. 2019. Manual de matemática da pré -universidade. Universidade Nacional da Costa.
2. Figuera, j. 2000. Matemática 9. Grau. Edições Co-Bo.
3. Jiménez, r. 2008. Álgebra. Prentice Hall.
4. Portal educacional. Números irracionais e suas propriedades. Recuperado de: Portaleducative.líquido.
5. Wikipedia. Números irracionais. Recuperado de: é.Wikipedia.org.