Ângulos suplementares que são, cálculo, exemplos, exercícios

Dois ou mais são ângulos suplementares Se a soma de suas medidas corresponder à medida de um ângulo plano. A medida de um ângulo plano, também chamado de ângulo plano, em graus é 180º e em radianos é π.

Por exemplo, descobrimos que os três ângulos internos de um triângulo são suplementares, pois a soma de suas medidas é 180º. Três ângulos são mostrados na Figura 1. A partir do exposto, segue -se que α e β são suplementares, pois são adjacentes e sua soma completa um ângulo plano.

Figura 1: α e β são suplementares. α e γ são suplementares. Fonte: f. Zapata.

Também na mesma figura, existem ângulos α e γ que também são suplementares, porque a soma de suas medidas é igual à extensão de um ângulo plano, ou seja, 180º. Não se pode dizer que os ângulos β e γ são suplementares porque, sendo ambos os ângulos obtusos, suas medidas são maiores que 90º e, portanto, sua soma excede 180º.

Fonte: Lafer.com

Por outro lado, pode -se dizer que a medida do ângulo β é igual à medida do ângulo γ, pois se β é suplementar de α e γ é suplementar de α, então β = γ = 135º.

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Exemplos

Nos exemplos a seguir, é solicitado que encontre os ângulos desconhecidos, indicados com interrogatório na Figura 2. Eles variam dos exemplos mais simples a alguns um pouco mais elaborados do que o leitor deve ser mais cuidadoso.

Figura 2. Vários exemplos de ângulos suplementares. Fonte: f. Zapata.

Exemplo a

Na figura, temos que os ângulos adjacentes α e 35º adicionam um ângulo plano. Isto é, α + 35º = 180º e, portanto, é cumprido que: α = 180º- 35º = 145º.

Exemplo b

Como β é suplementar com o ângulo de 50º, é seguido que β = 180º - 50º = 130º.

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Exemplo c

Na Figura 2c, é notada a seguinte soma: γ + 90º + 15º = 180º. Isto é, γ é suplementar com ângulo 105º = 90º + 15º. Conclui -se então que: 

γ = 180º- 105º = 75º

Exemplo d

Como x é suplementar com 72º, segue -se que x = 180º - 72º = 108º. Além disso e é suplementar com x, então y = 180º - 108º = 72º.

E finalmente z é suplementar com 72º, portanto z = 180º - 72º = 108º.

Exemplo e

Os ângulos δ e 2δ são suplementares, portanto Δ + 2Δ = 180º. O que significa que 3Δ = 180º, e isso por sua vez permite escrever: Δ = 180º / 3 = 60º.

Exemplo f

Se chamarmos o ângulo entre os 100º e o 50º, é necessário ser complementado a eles, porque é observado que sua soma completa um ângulo plano.

Segue -se que u = 150º. Como u se opõe pelo vértice a w, então w = u = 150º.

Exercícios

Três exercícios são propostos abaixo, em todos eles o valor dos ângulos A e B devem ser encontrados em graus, para que os relacionamentos mostrados na Figura 3 sejam atendidos. O conceito de ângulos suplementares é usado na resolução de todos eles.

Figura 3. Figura para resolver exercícios I, II e III em ângulos suplementares. Todos os ângulos são expressos em graus. Fonte: f. Zapata.

- Exercício I

Determine os valores dos ângulos A e B da Parte I) da Figura 3.

Solução

A e B são suplementares, onde A + B = 180 graus devem ser substituídos, então a expressão de A e B é substituída em função de x, como aparece na imagem:

(x + 15) + (5x + 45) = 180

Uma equação linear de primeira ordem é obtida. Para resolvê -lo, os termos são jogados fora: os termos:

6 x + 60 = 180

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Dividir os dois membros entre 6 são:

x + 10 = 30

E finalmente limpando, segue -se que X vale 20º.

Agora o valor de x deve ser substituído para encontrar os ângulos ordenados. A partir daí você tem para o ângulo A é: a = 20 +15 = 35º.

E por sua parte, o ângulo B é B = 5*20 + 45 = 145º.

- Exercício II

Encontre os valores dos ângulos A e B da Parte II) da Figura 3.

Solução

Como A e B são ângulos suplementares, A + B = 180 graus. Substituir a expressão de A e B em função de x dada na Parte II) da Figura 3 é:

(-2x + 90) + (8x - 30) = 180

Novamente, é obtida uma equação de primeiro grau, para a qual os termos devem ser convenientemente em grupo:

6 x + 60 = 180

Dividir os dois membros entre 6 são:

x + 10 = 30

Onde se segue que x vale 20º.

Ou seja, o ângulo A = -2*20 + 90 = 50 °. Enquanto ângulo B = 8*20-30 = 130.

- Exercício III

Determine os valores dos ângulos A e B da Parte III) da Figura 3 (em verde).

Solução

Como A e B são ângulos suplementares, A + B = 180 graus. A expressão de A e B deve ser substituída em função de x dada na Figura 3, que você tem:

(5x - 20) + (7x + 80) = 180

12 x + 60 = 180

Dividindo os dois membros por 12 para limpar o valor de x, você tem:

x + 5 = 15

Finalmente, verifica -se que X vale 10 graus.

Agora continue substituindo para encontrar o ângulo A: a = 5*10 -20 = 30 °. E para o ângulo B: B = 7*10 + 80 = 150º

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Ângulos suplementares em dois paralelos cortados por um secante

Figura 4. Ângulos entre dois paralelos cortados por um secante. Fonte: f. Zapata.

Duas linhas paralelas cortadas por um secante são uma construção geométrica usual em alguns problemas. Entre essas linhas, 8 ângulos são formados como mostrado na Figura 4.

Desses 8 ângulos, alguns pares de ângulos são suplementares, que listamos abaixo:

1. Os ângulos externos e B, e os exteriores G e H
2. Os ângulos internos d e c e os interiores e e f
3. Os ângulos externos a e g e os b e h externos
4. Os ângulos internos d e e e os presos C e F

Por completude, os ângulos iguais também são nomeados:

1. As alternativas internas: d = f e c = e
2. As alternativas externas: a = h e b = g
3. Os correspondentes: a = e e c = h
4. Os opostos por vértice a = c e e = h
5. Os correspondentes: b = f e d = g
6. Os opostos por vértice b = d e f = g

- Exercício IV

Em referência à Figura 4, na qual os ângulos mostram entre duas linhas paralelas cortadas por um secante, determine o valor de todos os ângulos em radianos, sabendo que o ângulo A = π/6 radianos.

Solução

A e B são ângulos externos suplementares, portanto, B = π - a = π - π/6 = 5π/6

A = e = c = h = π/6

B = f = d = g = 5π/6

Referências

1. Baldor, J. PARA. 1973.Geometria plana e espacial. Cultural da América Central. 
2. Leis e fórmulas matemáticas. Sistemas de medição de ângulo. Recuperado de: IngeMecanica.com.
3. Wentworth, G. Geometria do Planeta. Recuperado de: Gutenberg.org.
4. Wikipedia. Ângulos suplementares. Recuperado de: é.Wikipedia.com
5. Wikipedia. Transportador. Recuperado de: é.Wikipedia.com
6. Zapata f. Goniômetro: história, peças, operação. Recuperado de: Lifer.com