Exemplos de método paralelograma, exercícios resolvidos

Ele Método do paralelogramo É um método gráfico adicionar dois vetores no avião. É freqüentemente usado para encontrar o resultado de duas forças aplicadas a um corpo ou duas velocidades, como no caso de um nadador que pretende atravessar um rio perpendicularmente e é desviado pela corrente.

Para construir o paralelogramo, as origens dos vetores a serem adicionadas, desenhadas em escala, devem coincidir em um ponto.

figura 1. O método do paralelogramo para adicionar dois vetores. Fonte: Wikimedia Commons.

Em seguida, as linhas auxiliares são desenhadas paralelas a cada vetor, que atingem o final do outro, como mostrado na figura superior.

O vetor add ou resultante, também chamado de força líquida, é o vetor F_líquido, que é obtido desenhando o vetor que vai da origem comum de F₁ e F₂, Até o ponto em que as linhas paralelas auxiliares se cruzam. No diagrama da figura, estes são representados por linhas pontilhadas.

O método recebe seu nome da figura formada com os viciados e as linhas auxiliares, que é precisamente um paralelogramo. A diagonal principal do paralelogramo é o vetor de soma.

É muito importante enfatizar que a ordem em que os vetores adicionais são colocados não altera a soma, uma vez que essa operação entre vetores é comutativa.

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Exemplo do método do paralelogramo passo a passo

A imagem a seguir mostra os vetores v e ou Em unidades arbitrárias. O vetor v Mede 3.61 unidades e forma um ângulo de 56.3º com o horizontal, enquanto ou Mede 6.32 unidades e ângulo de 18.4º sobre esta linha de referência.

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Vamos encontrar seu vetor adicionado através do método do paralelogramo.

Figura 2. Quaisquer dois vetores no avião, dos quais queremos encontrar o vetor resultante. Fonte: f. Zapata

É necessário escolher uma escala apropriada, como a mostrada na figura a seguir, na qual o avião foi dividido por uma grade. A largura do quadrado representa uma (1) unidade.

Como os vetores não se alteram quando são transferidos, eles são colocados de tal maneira que suas origens coincidem com a origem do sistema de coordenadas (imagem da esquerda).

Figura 3. Soma dos vetores através do método do paralelogramo. Fonte: f. Zapata.

Agora vamos seguir estas etapas:

1. Vetor o fim do vetor v Uma linha segmentada que é paralela ao vetor ou.
2. Repita o procedimento, mas desta vez com o final do vetor ou.
3. Desenhe a diagonal principal que se estende da origem comum até o ponto de interseção de linhas segmentadas.

O resultado pode ser visto na imagem certa, na qual o vetor resultante aparece R.

Se queremos saber a magnitude de R, Podemos medir seu comprimento e compará -lo à escala que temos. E quanto à sua direção, o eixo horizontal ou o eixo vertical podem ser usados ​​como referências, por exemplo.

Usando o eixo horizontal ou o eixo x, o ângulo que R A forma com este eixo é medida com o transportador e, dessa forma, sabemos o endereço de R.

Além disso, a magnitude e a direção de R Eles podem ser calculados pelos teoremas do cosseno e da mama, uma vez que o paralelogramo formado pode ser dividido em dois triângulos congruentes, cujos lados são os módulos dos vetores ou, v e R. Veja o exemplo resolvido 1.

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Caso especial: soma de vetores perpendiculares

Quando os vetores são perpendiculares um ao outro, a figura formada é um retângulo. O módulo vetorial resultante corresponde ao comprimento da diagonal, que pode ser facilmente calculado pelo teorema de Pithagoras.

Figura 4. Soma de dois vetores perpendiculares usando o método do paralelogramo. Fonte: f. Zapata.

Exercícios resolvidos

- Exercício 1

Você tem o vetor v, que mede 3.61 unidades e forma um ângulo de 56.3º com o horizontal e o vetor ou, cuja medida é 6.32 unidades e forma um ângulo de 18.4ª (Figura 2). Determine o módulo vetorial resultante R = ou + v e a direção que forma o referido vetor com o eixo horizontal.

Solução

O método do paralelogramo é aplicado de acordo com as etapas descritas acima, para obter o vetor R. Como afirmado anteriormente, se os vetores forem cuidadosamente desenhados após a escala e usando regra e transportador, magnitude e direção de R Eles são medidos diretamente no desenho.

Figura 5.- Cálculo da magnitude e direção do vetor resultante. Fonte: f. Zapata.

Eles também podem ser calculados diretamente, com a ajuda da trigonometria e as propriedades dos ângulos. Quando o triângulo formado não é retângulo, como neste caso, o teorema do cosseno é aplicado para encontrar o lado que falta.

No triângulo certo, os lados medem u, v e r. Para aplicar o teorema de cosseno, é necessário conhecer o ângulo entre v e ou, que podemos encontrar com a ajuda da grade, posicionando corretamente os ângulos fornecidos pela declaração.

Este ângulo é α e é composto de:

α = (90-56.3º) + 90º +18.4o = 142.1º

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De acordo com o teorema do Coseno:

R² = v² + ou² - 2u⋅v⋅Cos α = 3.61² + 6.32² - 23.61 × 6.32 × cos 142.1st = 88.98

R = 9.43 unidades.

Finalmente, o ângulo entre R E o eixo horizontal é θ = 18.4 º + γ. O ângulo γ pode ser encontrado pelo teorema da mama:

sin α / r = sen γ / u

Portanto:

sin γ = v (sin α / r) = 3.61 x (sen 142.1º / 9.43)

γ = 13.6º

θ = 18.4 º + 13.6 º = 32º

- Exercício 2

Um nadador se prepara para atravessar um rio nadando perpendicularmente à corrente com velocidade constante de 2.0 m/s. O nadador começa de A, no entanto, termina em B, um ponto a jusante, devido à corrente que a desviou.

Se a velocidade da corrente for 0.8 m/se e todas as velocidades devem encontrar a velocidade do nadador, como visto por um observador em pé na costa.

Solução

Figura 6. Soma das velocidades pelo método do paralelogramo. Fonte: f. Zapata.

Um observador em pé na costa veria como o nadador é desviado de acordo com a velocidade resultante V_R. Para encontrar a resposta, precisamos adicionar a velocidade do nadador e a velocidade da corrente, que chamamos V _rio:

V _R = V _nadador + V _rio

Na figura, que não está em escala, os vetores foram adicionados para obter V _R. Nesse caso, o teorema de Pitágoras pode ser aplicado para obter sua magnitude:

V_R² = 2.0² + 0.8² = 4.64

V_R = 2.15 m/s

O endereço no qual o nadador de direção perpendicular é facilmente calculada, percebendo que:

θ = arctg (2/0.8) = 68.2º

Então o nadador desvia 90º - 68.2º = 27.2º do seu endereço original.

Referências

1. Bauer, w. 2011. Física para engenharia e ciências. Volume 1. Mc Graw Hill.
2. Bedford, 2000. PARA. Mecânica para engenharia: estático. Addison Wesley.
3. Figueroa, d. (2005). Série: Física para Ciência e Engenharia. Volume 1. Cinemática. Editado por Douglas Figueroa (USB).
4. Giambattista, a. 2010. Física. 2º. Ed. McGraw Hill.
5. Sears, Zemansky. 2016. Física da Universidade com Física Moderna. 14º. Ed. Volume 1.