Método Euler para o que é o uso de procedimentos e exercícios

Ele Método Euler É o mais básico e simples dos procedimentos usados ​​para encontrar soluções numéricas aproximadas, para uma equação diferencial comum da primeira ordem, desde que sua condição inicial seja conhecida.

Uma equação diferencial comum (EDO) é a equação que relaciona uma função desconhecida de uma única variável independente com seus derivados.

Abordagens sucessivas pelo método de Euler. Fonte: Oleg Alexandrov [Domínio Público]

Se o maior derivado que aparece na equação é de grau um, então é uma equação diferencial comum do primeiro grau.

A maneira mais geral de escrever uma equação de primeiro grau é:

com a condição inicial:

x = x₀

y = y₀

[TOC]

Qual é o método de Euler?

A idéia do método Euler é encontrar uma solução numérica para a equação diferencial no intervalo entre x₀ e x_F .

Primeiro, o intervalo em n+1 pontos é discordado:

x₀, x₁, x₂, x₃…, X_n

Que são obtidos assim:
x_Yo= x₀+Ih

Onde h é a largura ou a etapa dos subintervais:

Quanto maior o número n, o resultado será mais preciso, mas será necessário um número maior de pontos para cobrir o intervalo em que estamos procurando a solução e o tempo de computação cresce.

Com a condição inicial, também é possível conhecer o derivado no início:

e '(x_qualquer) = f (x_qualquer, e_qualquer)

Este derivado representa a inclinação da linha tangente à curva de função y (x) precisamente no ponto:

Ao = (x_qualquer, e_qualquer)

Em seguida, uma previsão aproximada do valor da função y (x) é feita no seguinte ponto:

e (x₁) ≈ e₁

e_1 = e_qualquer +(x₁- x_qualquer) f (x_qualquer, e_qualquer) = y_{qualquer +} H f (x_qualquer, e_qualquer)

O próximo ponto aproximado da solução que corresponderia a:

PARA₁ = (x₁, e₁)

O procedimento é repetido para obter os pontos sucessivos

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PARA₂, PARA₃…, X_n

Na figura mostrada no início, a curva azul representa a solução exata da equação diferencial, e a vermelha representa os pontos aproximados sucessivos obtidos pelo procedimento Euler.

Exercícios resolvidos

Exercício 1

Yo) Seja a equação diferencial:

Com a condição inicial x = a = 0; e_para= 1

Usando o método Euler, obtenha uma solução aproximada de e Em coordenada x = b = 0.5, subdividindo o intervalo [a, b] em n = 5 partes.

Solução

Os resultados numéricos estão resumidos da seguinte forma:

Onde se conclui que a solução e o valor 0.5 é 1.4851.

Nota: Para a realização dos cálculos, foi usado Smath Studio, Programa de Uso Gratuito.

Exercício 2

Ii) Continuando com a equação diferencial do exercício i), encontre a solução exata e compare -a com o resultado obtido pelo método Euler. Encontre o erro ou diferença entre o resultado exato e o aproximado.

Solução

Com a condição inicial x = a = 0; e_para= 1
A solução exata não é muito difícil de encontrar. Sabe -se que o derivado da função sen (x) é a função cos (x). Portanto, a solução y (x) será:

e (x) = sin x + c

Para atender à condição inicial e (0) = 1, a constante C deve valer 1. Em seguida, o resultado exato é comparado com a aproximação:

Conclui -se que no intervalo calculado, a abordagem tem três números de precisão significativos.

Exercício 3

Iii) Considere a equação diferencial e suas condições iniciais dadas abaixo:

e '(x) =- y²

Com a condição inicial x₀ = 0; e₀ = 1

Use o método Euler para encontrar valores aproximados da solução e (x) No intervalo x = [0, 1.5]. Use passo H = 0.1.

Solução

O método de Euler é muito indicado para ser usado com uma planilha. Nesse caso, usaremos a planilha de Geogebra, Um programa de uso gratuito e gratuito.

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Três colunas (A, B, C) são mostradas na planilha da figura x , A segunda coluna representa a variável e, e a terceira coluna do derivado e'.

A linha 2 contém os valores iniciais de X, E, E' .

O valor do valor 0.1 Foi colocado na célula de posição absoluta ($ D $ 4).

O valor Y0 inicial está na célula B2 e Y1 na célula B3. Para calcular e₁ A fórmula é usada:

e_1 = e_qualquer +(x₁- x_qualquer) f (x_qualquer, e_qualquer) = y_{qualquer +} H f (x_qualquer, e_qualquer)

Esta fórmula da planilha seria o número B3: = B2 + $ D $ 4 * C3.

Da mesma forma, Y2 estaria na célula B4 e sua fórmula é mostrada na figura a seguir:

A figura também mostra o gráfico da solução exata e os pontos A, B, ..., P da solução aproximada por meio do método Euler.

Newton Dynamics e Euler's Method

A dinâmica clássica foi desenvolvida por Isaac Newton (1643 - 1727). A motivação original de Leonard Euler (1707 - 1783) para desenvolver seu método foi precisamente resolver a equação da segunda lei de Newton em várias situações físicas.

A segunda lei de Newton é frequentemente expressa como uma equação diferencial secundária:

Onde x representa a posição de um objeto no momento t. Este objeto tem uma massa m e está sujeito a uma força F. A função F Está relacionado à força e massa da seguinte forma:

 Embora o método Euler, em princípio, tenha sido projetado para resolver equações diferenciais de primeiro grau, é facilmente extensível ao segundo caso de grau, pois é equivalente a um sistema de duas primeiras equações de graus.

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Para aplicar o método Euler, são necessários valores iniciais de tempo t, velocidade v e posição x.

A tabela a seguir explica como a partir dos valores iniciais T1, V1, X1 Uma aproximação da velocidade V2 e a posição X2 pode ser obtida, no momento T2 = T1+ΔT, onde ΔT representa um pequeno aumento e corresponde à etapa no método de Euler.

Exercício 4

4) Um dos problemas fundamentais da mecânica é o de um bloco de massa m amarrado a uma mola (ou mola) de constante elástica k.

A segunda lei de Newton para esse problema seria assim:

Neste exemplo, para simplificar, será tomado m = 1 e k = 1. Encontre soluções aproximadas para a posição x E a velocidade v Pelo método de Euler no intervalo de tempo [0, π/2] subdividindo o intervalo em 12 partes.

Tome 0 como um momento inicial, velocidade inicial 0 e posição inicial 1.

Solução

Os resultados numéricos são mostrados na tabela a seguir:

Os gráficos da posição e a velocidade entre os instantes 0 e 1 também são mostrados.44.

Exercícios propostos para casa

Exercício 1

Use uma planilha para determinar uma solução aproximada usando o método Euler para a equação diferencial:

e '= -exp (-y) com as condições iniciais x = 0, y = -1 no intervalo x = [0, 1]

Comece com uma etapa de 0,1. Graph o resultado.

Exercício 2

Ao usar uma planilha, encontre soluções numéricas para a seguinte equação de segundo grau, onde e é uma função da variável independente t.

e "= - 1/y² com a condição inicial t = 0; y (0) = 0,5; e '(0) = 0

Encontre a solução no intervalo [0,5; 1.0] usando uma etapa de 0,05.

Graph o resultado: e vs t; e 'vs t

Referências

1. Método de Eurler.Tirado da Wikipedia.org
2. Euler Solver. Tirado de.SMATH.com