Cálculo da matriz inversa e exercício resolvido

O Matriz inversa de uma determinada matriz, é a matriz que multiplicada pelos resultados originais na matriz de identidade. A matriz reversa é útil para resolver sistemas de equações lineares, daí a importância de saber como calculá -la.

As matrizes são muito úteis em física, engenharia e matemática, pois são uma ferramenta compacta para resolver problemas complexos. A utilidade das matrizes é aprimorada quando são invertíveis e também são conhecidas.

figura 1. Uma matriz 2 × 2 genérica e sua matriz inversa são mostradas. (Preparado por Ricardo Pérez)

Nos campos de processamento gráfico, big data, mineração de dados, aprendizado de máquina e outros são usados ​​algoritmos eficientes e rápidos para avaliar a matriz inversa de matrizes nxn com n muito grande, na ordem dos milhares ou milhões.

Para ilustrar o uso da matriz reversa no gerenciamento do sistema de equações lineares, começaremos com o caso mais simples de todos: 1 × 1 matrizes.

O caso mais simples: uma equação linear de uma única variável é considerada: 2 x = 10.

A idéia é encontrar o valor de x, mas será "Matrixly". 

A matriz m = (2) que multiplica o vetor (x) é uma matriz 1 × 1 que resulta no vetor (10):

M (x) = (10)

O inverso da matriz M é indicado por m^-1.

A maneira geral de escrever este "sistema linear" é:

M x = b, onde x é o vetor (x) e b é o vetor (10).

Por definição, a matriz reversa é uma que multiplicada pela matriz original resulta na matriz de identidade I:

M^-1 M = i

No caso considerado, Matrix M^-1 É a matriz (½), que é M^-1 = (½) desde M^-1 M = (½) (2) = (1) = i

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Para encontrar o vetor desconhecido x = (x), na equação elevada, ambos os membros são multiplicados pela matriz reversa:

M^-1 M (x) = m^-1 (10)

(½) (2) (x) = (½) (10)

(½ 2) (x) = (½ 10)

(1) (x) = (5)

(x) = (5)

A igualdade de dois vetores foi alcançada, que são iguais apenas quando seus elementos correspondentes são iguais, ou seja, x = 5.

Cálculo do inverso de uma matriz

O que motiva o cálculo da matriz reversa é encontrar um método universal para a solução de sistemas lineares, como o seguinte sistema 2 × 2:

x - 2 y = 3

-x + y = -2

Seguindo as etapas do caso 1 × 1, estudadas na seção anterior, escrevemos o sistema de equações de maneira matriz:

Figura 2. Sistema linear em forma de matriz.

Observe que este sistema está escrito em notação vetorial compacta da seguinte forma:

M x = b

onde

O próximo passo é encontrar M.

Método 1: Através da eliminação gaussiana

O método de eliminação de Gauss será aplicado. Que consistem em fazer operações elementares nas fileiras da matriz, essas operações são:

- Multiplique uma linha por um número não -nulo.

- Adicione ou subtraia outra linha, ou o múltiplo de outra linha.

- Troca linhas.

O objetivo é, através dessas operações, converter a matriz original na matriz de identidade. 

Como isso é feito, na matriz m exatamente as mesmas operações da matriz de identidade são aplicadas. Quando após várias operações nas linhas R, é transformada na matriz unitária, então a que era originalmente a unitária será transformada na matriz reversa de M, isto é, M^-1.

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1- Começamos o processo escrevendo a matriz M e ao lado dele a matriz da unidade:

2- Adicionamos as duas linhas e o resultado é colocado na segunda linha, dessa maneira, recebemos um zero no primeiro elemento da segunda linha:

3- Multiplamos a segunda linha por -1 para obter 0 e 1 na segunda linha:

4- A primeira linha é multiplicada por ½:

5- O segundo e o primeiro adicionam e o resultado é colocado na primeira fila:

6- para encerrar o processo, a primeira linha por 2 é multiplicada para obter no primeiro a matriz de identidade e no segundo a matriz reversa da matriz original M:

Quer dizer:

Solução do sistema

Depois que a matriz reversa é obtida, o sistema de equações é resolvido aplicando a matriz reversa nos dois membros da equação do vetor compacto:

M^-1M x = m^-1B

X = m^-1B

Isso permanece explicitamente assim:

Em seguida, a multiplicação da matriz é feita para obter o vetor x:

Método 2: por matriz anexada

Neste segundo método, a matriz reversa é calculada com base na matriz anexada da matriz original PARA.

Suponha que uma matriz dada por:

para onde_{eu j} É o elemento da linha Yo e a coluna J da matriz PARA.

A ligação da matriz PARA Será chamado Adj (a) E seus elementos são:

DE ANÚNCIOS_{eu j} = (-1)^(I+J) …Ai, J ..

onde Ai, j É a matriz menor complementar que é obtida eliminando a linha I e a coluna J da matriz original PARA. Barras…… indicam que o determinante é calculado, ou seja, …Ai, J .. É o determinante da matriz menor complementar.

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Fórmula da matriz inversa

A fórmula para encontrar a matriz reversa com base na matriz anexada da matriz original é a seguinte:

Isto é, a matriz reversa de PARA, PARA^-1, é a transposição do anexo de PARA dividido pelo determinante de PARA.

O transposto PARA^Tde uma matriz PARA É o obtido trocando fileiras por colunas, ou seja, a primeira linha se torna a primeira coluna e a segunda linha para a segunda coluna e assim por diante até as n linhas da matriz original.

Exercício resolvido

Seja a matriz para a próxima:

Cada um e cada um dos elementos da matriz anexada de a: adj (a) são calculados

Resultando em que a matriz anexada de A, adj (a) é a seguinte:

Então o determinante da matriz A, det (a) é calculado:

Finalmente, a matriz reversa de A é obtida:

Referências

1. Anthony Nicolaides (1994) Determinantes e matrizes. Pass Publicação.
2. AWOL Assen (2013) Um estudo sobre o cálculo dos determinantes de 3 × 3
3. Casteleiro Villalba m. (2004) Introdução à Álgebra Linear. Editorial ESIC.
4. Dave Kirkby (2004) Maths Connect. Heinemann.
5. Jenny Olive (1998) Matemática: Guia de sobrevivência de um aluno. Cambridge University Press.
6. Richard J. Brown (2012) Matemática de 30 segundos: as 50 teorias mais expandidas da mente em matemática. Ivy Press Limited.
7. Matriz. Publicação acadêmica de Lambert Lambert.