Fórmulas de indução magnética, como é calculado e exemplos

O indução magnética ou densidade de fluxo magnético é uma alteração do ambiente causada pela presença de correntes elétricas. Eles modificam a natureza do espaço circundante, criando um campo Vetor.

O vetor Indução magnética, densidade de fluxo magnético ou simplesmente campo magnético B, Possui três características distintas: uma intensidade expressa por um valor numérico, um endereço e também um sentido dado em cada ponto do espaço. É destacado em negrito para distingui -lo de quantidades puramente numéricas ou escalares.

Regra do polegar direito para determinar a direção e a direção do vetor de indução magnética. Fonte: Jfmelero [CC BY-SA 4.0 (https: // CreativeCommons.Org/licenças/BY-SA/4.0)]

A regra do polegar direito é usada para encontrar a direção e a direção do campo magnético originado por um fio que transporta corrente, como mostrado na figura acima.

O polegar da mão direita deve apontar na direção da corrente. Então a virada dos dedos restantes indica a forma de B, que na figura é representada pelos círculos concêntricos de vermelho.

Nesse caso, o endereço de B É tangencial à circunferência concêntrica com o fio e o significado é contrário às mãos do relógio.

O indução magnética B No sistema internacional, o Tesla (T) é medido, no entanto, é mais comum medi -lo em outra unidade chamada Gauss (G). Ambas as unidades foram nomeadas respectivamente em homenagem a Nikola Tesla (1856-1943) e Carl Friedrich Gauss (1777-1855) por suas contribuições extraordinárias para a ciência da eletricidade e magnetismo.

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Quais são as propriedades da indução magnética ou densidade de fluxo magnético?

Uma bússola que é colocada perto do fio com corrente, sempre se alinhará com B. O físico dinamarquês Hans Christian Oersted (1777-1851) foi o primeiro a realizar esse fenômeno no início do século XIX.

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E quando a corrente cessa, a bússola aponta para o norte geográfico, como sempre. Ao alterar cuidadosamente a posição da bússola, um mapa é obtido da forma do campo magnético.

Este mapa sempre tem a forma de círculos concêntricos para o fio, conforme descrito no começo. Dessa forma, pode ser visualizado B.

Mesmo que o fio não seja reto, o vetor B formará círculos concêntricos ao redor. Para determinar a que forma o campo tem, basta imaginar segmentos de arame muito pequenos, tão pequenos que parecem retilíneos e cercados por circunferências concêntricas.

Linhas de campo magnéticas produzidas por um loop de arame que transporta corrente. Fonte: Pixabay.com

Isso indica uma propriedade importante das linhas de campo magnéticas B: Eles não têm princípio ou fim, são sempre curvas fechadas.

A Lei Biot-Savart

O século XIX determinou o início da era da eletricidade e magnetismo na ciência. Perto do ano de 1820, os físicos franceses Jean Marie Biot (1774-1862) e Felix Savart (1791-1841) descobriram a lei que leva seu nome e que permite calcular o vetor B.

Eles fizeram as seguintes observações sobre a contribuição para o campo magnético produzido por um segmento de fio de comprimento diferencial dl que transporta uma corrente elétrica Yo:

• A magnitude de B diminui com o inverso para o quadrado da distância ao fio (isso faz sentido: longe do fio a intensidade de B Deve ser menor do que em pontos próximos).
• A magnitude de B É proporcional à intensidade da corrente Yo que viaja no fio.
• O endereço de B É tangencial à circunferência do rádio r centrado no fio e na direção de B É dado, como dissemos, pela regra do polegar direito.

O vetor ou produto cruzado é a ferramenta matemática apropriada para expressar o último ponto. Para estabelecer um produto vetorial, são necessários dois vetores, que são definidos da seguinte forma:

• deu É o vetor cuja magnitude é o comprimento do segmento diferencial dl
• r É o vetor que vai do fio até o ponto em que você deseja encontrar o campo

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Fórmulas

Tudo isso pode ser combinado em uma expressão matemática:

A constante de proporcionalidade necessária para estabelecer a igualdade é Permeabilidade magnética do espaço livre μ_qualquer  = 4π.10^-7 T.m/a

Esta expressão é a lei de Biot e Savart, que permite calcular o campo magnético de um segmento atual.

Esse segmento, por sua vez, deve fazer parte de um circuito cada vez maior: uma distribuição de corrente.

A condição de que o circuito esteja fechada é necessária para que uma corrente elétrica flua. A corrente elétrica não pode fluir em circuitos abertos.

Finalmente, para encontrar o campo magnético total desta distribuição atual, todas as contribuições de cada segmento diferencial são adicionadas deu. Isso é equivalente a integrar toda a distribuição:

Para aplicar a lei Biot-Savart e calcular o vetor de indução magnética, é necessário considerar pontos importantes muito importantes:

• O produto vetorial entre dois vetores sempre resulta em outro vetor.
• A magnitude do produto vetorial na Lei Biot-Savart é:onde θ é o ângulo entre deu e r.
• O produto vetorial deve ser encontrado antes Se a resolução integral for resolvida, a integral de cada um dos componentes obtidos separadamente será resolvida.
• É necessário desenhar a situação e estabelecer um sistema de coordenadas adequado.
• Sempre que a existência de alguma simetria é observada, ela deve ser usada para economizar tempo de cálculo.
• Quando existem triângulos, o teorema de Pitágoras e o teorema de cosseno ajudam a estabelecer a relação geométrica entre as variáveis.

Como é calculado?

Com um exemplo prático do cálculo de B Para fios retilíneos, essas recomendações são aplicadas.

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Exemplo

Calcule o vetor de campo magnético que um fio retilíneo muito longo produz em um ponto P do espaço, de acordo com a figura mostrada.

Geometria necessária para calcular o campo magnético no ponto P, de um fio de corrente infinitamente longo. Fonte: Self feito.

Da figura que você precisa:

• O fio é direcionado verticalmente, com a corrente que eu flui. Este endereço é +e no sistema de coordenadas, cuja origem está no ponto ou.
• θ é o ângulo entre deu e r E também é verdade que: 
• Nesse caso, de acordo com a regra do polegar direito, B No ponto P é direcionado no papel, por isso é indicado com um pequeno círculo e um "x" na figura. Este endereço será tomado como -z.
• O triângulo certo cujas pernas são e e R, relaciona ambas as variáveis ​​de acordo com o teorema de Pitágoras: r²= R²+e²

Tudo isso é substituído na integral. O vetor ou produto cruzado é indicado por sua magnitude mais direção e seu significado:

A integral proposta é procurada em uma tabela integrante ou é resolvida por uma substituição trigonométrica apropriada (o leitor pode verificar o resultado usando y = rtg θ):

O resultado concorda com o esperado: a magnitude do campo diminui com a distância r e aumenta proporcionalmente com a intensidade da corrente i.

Embora um fio infinitamente longo seja uma idealização, a expressão obtida é uma abordagem muito boa para o campo de um fio longo.

Com a lei Biot e Savart, é possível encontrar o campo magnético de outras distribuições de alta simetria, como uma espiral circular que transporta corrente ou fios dobrados combinando segmentos retilíneos e curvilíneos.

Obviamente, para analisar o integral, o problema deve ter um alto grau de simetria. Caso contrário, a alternativa está resolvendo numericamente a integral.

Referências

1. Serway, r., Jewett, J. (2008). Física para Ciência e Engenharia. Volume 2. México. Editores de aprendizado do Cengage. 367-372.