Estimativa pontual

Explicamos qual é a estimativa de pontos, suas propriedades, métodos. Além disso, colocamos um exemplo e resolvemos exercícios

Qual é a estimativa pontual?

O Estimativa pontual Dos parâmetros estatísticos de algumas características da população, é uma que é realizada de uma ou mais amostras da referida característica, representada como variável aleatória.

As populações podem ser diversas: as mulheres de uma cidade, os pacientes de um hospital, os parafusos fabricados por um determinado setor em um mês e muitos outros.

Na população de mulheres em uma cidade, um estudo estatístico pode se concentrar em várias características dessa população: por exemplo, o tamanho de sapatos, altura, medida da cintura, cor do cabelo, número de crianças, idade e inúmeras outras características.

Uma vez que a população e a característica que desejam passar por um estudo estatístico são escolhidas, uma amostra de tamanho é escolhida n, que geralmente é muito menor que o tamanho N da população total.

Propriedades da estimativa pontual

Conhecido os dados de uma amostra, que são representados por uma variável aleatória X, Estes são representados por um conjunto de n Números reais: (x₁, x₂,.. ., x_n).

Com esses dados, algumas estatísticas da amostra podem ser calculadas:

• Média da amostra: = (x₁+x₂,.. ., +x_n)/n.
• Variação de amostra: S² = [x_{1 ~} )² +.. . +(x_{n ‾} )²]/n.
• Amostra quase-variza: Sc² = [x_{1 ~} )² +.. . +(x_{n ‾})²]/(N _‾ 1).

Distribuição normal de uma população com valor central μ e desvio sigma σ

Por outro lado, o População média μ e a Variação da população σ² Eles exigiriam conhecimento de todos os dados da população total, que tem um tamanho N >> n. Consequentemente, muitas vezes é inviável saber exatamente os parâmetros da população.

Em vista disso, os valores da população geralmente se aproximam por valores da amostra, aproximação conhecida como Estimativa pontual. SSerá bom ou ruim, dependendo principalmente da quantidade de dados e da qualidade da amostra. A amostra é conhecida como estimador.

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Um bom estimador deve ter algumas características ou propriedades desejáveis:

• Coerência
• Variação mínima 
• Eficiência.

1.- Coerência

Uma amostra deve ter um número suficiente de dados para que a estimativa dos parâmetros seja consistente. Por exemplo, se três ou mais amostras forem coletadas e as estatísticas da amostra são muito diferentes entre si, não seria apropriado tomar nenhum desses resultados como uma estimativa específica. 

Na maioria dos casos, basta obter amostras de maior número de dados, para que os parâmetros estatísticos obtidos com eles comecem a mostrar convergência ou coincidência, sempre com alguma tolerância. Caso não haja convergência, apesar do aumento dos dados, sua qualidade deve ser revisada, pois eles poderiam ter preconceitos, ou eles foram simplesmente mal tomados.

2.- Variabilidade mínima

Se vários estimadores estiverem disponíveis cujos valores médios coincidem com alguma tolerância, aqueles que têm a menor variação da amostra são escolhidos.

3.- Eficiência

Um estimador N é eficiente a partir do momento em que as variações da amostra das meias tendem a zero, pois n tende ao infinito. É o que é chamado Eficiência assintótica do estimador.

Métodos

Abaixo estão algumas práticas ou métodos que permitirão fazer uma estimativa pontual bem -sucedida dos parâmetros da população, começando de uma amostra.

1.-Partição aleatória

A partição aleatória de uma amostra para verificar a consistência é usada. Este método consiste em pegar uma amostra de tamanho n e dividi -lo aleatoriamente em duas amostras, de tamanho N/2.

Se a média da amostra e a variação da amostra coincidem com um certo número de números significativos, geralmente 2 ou 3 números, pode -se dizer que há coerência entre eles.

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Por outro lado, se houver coincidência no nível de números significativos entre os parâmetros estatísticos calculados com a amostra original de tamanho N e os dois subsam, também há convergência, e pode -se afirmar que o tamanho da amostra é suficiente. Caso contrário, seria necessário obter dados adicionais, para aumentar a quantidade de dados de amostra.

2.- Método de modo

Este método é corresponder aos momentos de uma amostra aleatória de tamanho N, com os obtidos do candidato a distribuição de amostra. Se a distribuição do candidato tiver parâmetros M, será necessário corresponder aos momentos M.

3.- Método de credibilidade máxima

Ele foi proposto por Fisher, um dos pais da ciência estatística, aproximadamente cem anos atrás. Consiste em otimizar ou maximizar a probabilidade de ocorrência de um certo conjunto de valores de amostra.

Exemplo

Suponha que o comportamento de uma determinada variável populacional siga uma distribuição exponencial, cuja densidade de probabilidade é dada por:

 f (x; λ) = λ ⋅ exp (−λ⋅x)

É claramente uma única distribuição de parâmetros λ.

Para fazer uma estimativa do referido parâmetro populacional, uma amostra aleatória de tamanho N pode ser usada, cujos resultados são os seguintes: (x₁, x₂,.. ., x_n)

O primeiro momento da amostra é obtido, que é o valor médio, através de:

= (x₁ + x₂ +… + X_n) / n

Pode -se demonstrar que o primeiro momento de distribuição exponencial é a integral de 0 ao infinito da função x⋅f (x; λ), e seu resultado é 1/λ.

Igualando o momento da amostra com o da distribuição populacional, conclui -se que a estimativa específica de λ é 1/.

Exercícios resolvidos

Exercício 1

Em um estudo realizado com 100 dados, foi determinado que o tempo médio que uma pessoa leva para visualizar um vídeo do YouTube, uma vez recebido a notificação, é de 3 minutos. Encontre a distribuição de probabilidade de tempo usada para ver o vídeo, depois que a notificação for recebida.

Pode atendê -lo: y = 3sen (4x) Período de função

Solução

Supõe -se que a probabilidade máxima de que uma pessoa revise um vídeo ocorra logo após a notificação, mas se passar muito tempo depois dela, a probabilidade de a pessoa ver o vídeo é muito baixo.

Esse é o comportamento típico de uma distribuição exponencial; portanto, o comportamento da população pode ser modelado através da seguinte distribuição de probabilidade, para o tempo t (em minutos), medido a partir da notificação:

 f (t; λ) = λ ⋅ exp (−λ⋅t)

Nesse tipo de distribuição, a esperança ou a média é = 1/λ, conforme explicado na seção anterior. Então, a partir das informações de amostra, você pode aproximar λ:

λ ≈ ⅓.

Exercício 2

Uma pesquisa é feita com uma única pergunta, cujas respostas possíveis são: sim (1) ou não (0). Os resultados da pesquisa em que todos responderam foram: 26 sim e 14 não.

Sob a suposição de que a resposta é aleatória, portanto a distribuição desses resultados é um distribuição binomial cuja probabilidade é:

P = p²⁶ · (1 - -p)¹⁴

Pode -se demonstrar que o máximo dessa função ocorre quando P toma o valor 26/40, e esse é o valor que faz com que os valores da amostra obtivessem.