Fórmula de Esperança Matemática, Propriedades, Exemplos, Exercício

O esperança matemática ou valor esperado do variável aleatória X, é indicado como E (x) e é definido como a soma do produto entre a probabilidade de um evento aleatório e o valor do referido evento.

Na forma matemática, é expresso da seguinte forma:

μ = e (x) = ∑ x_Yo. P (x_Yo) = x₁.P (x₁) + x₂.P (x₂) + x₃.P (x₃) +..

figura 1. A esperança matemática é amplamente utilizada no mercado de ações e seguros. Fonte: Pixabay.

Onde x_Yo É o valor do evento e P (x_Yo) sua probabilidade de ocorrência. A soma se estende a todos os valores admitidos x. E se estes forem finitos, o resumo indicado converge para o valor e (x), mas se a soma não convergir, simplesmente a variável carece de valor esperado.

Quando se trata de uma variável contínua x, A variável pode ter valores infinitos e as integrais substituem os resumos:

Aqui f (x) representa o função densidade de probabilidade.

Em geral, a esperança matemática (que é uma média ponderada) não é igual à aritmética ou média, a menos que sejam distribuições discretas nas quais cada evento é igualmente provável. Então, e só então:

μ = e (x) = (1/n) ∑ x_Yo

Onde n é o número de valores possíveis.

O conceito é muito útil em mercados financeiros e companhias de seguros, nas quais faltam certezas, mas provavelmente são.

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Propriedades da esperança matemática

Entre as propriedades mais importantes da esperança matemática estão as seguintes:

- Sinal: Se x for positivo, então e (x) também será.

- Valor esperado de uma constante: O valor esperado de uma constante real k É a constante.

E (k) = k

- Linearidade na soma: A esperança de uma variável aleatória que, por sua vez, a soma de duas variáveis ​​x y é a soma das esperanças.

Pode atendê -lo: par de ordenados

E (x + y) = e (x) + e (y)

- Multiplicação por uma constante: Se a variável aleatória for forma KX, onde k É um constante (um número real), sai do valor esperado.

E (kx) = k e (x)

- Valor esperado do produto e independência entre variáveis: Se uma variável aleatória for o produto das variáveis ​​aleatórias x y, que são independentes, o valor esperado do produto é o produto dos valores esperados.

EX.Y) = e (x).EI)

- Variável aleatória Y = ax + b: As propriedades anteriores estão sendo aplicadas.

E (ax + b) = ae (x) + e (b) = ae (x) + b

Em geral, sim Y = g (x):

E (y) = e [g (x)] = ∑ g (x_Yo). P [G (X_Yo)]

- Ordem no valor esperado: Sim x ≤ y, então:

E (x) ≤ e (y)

Já que existem os valores esperados de cada um deles.

Esperança matemática nas apostas

Quando o famoso astrônomo Christian Huygens (1629-1695) não estava observando os céus, ele se dedicou a estudar, entre outras disciplinas, a probabilidade de jogar. Foi ele quem introduziu o conceito de esperança matemática em seu trabalho de 1656 intitulado: Raciocínio sobre o jogo.

Figura 2. Christiaan Huygens (1629-1625) foi um cientista brilhante e versátil, a quem devemos o conceito de valor esperado.

Huygens descobriu que as apostas poderiam ser classificadas de três maneiras, de acordo com o valor esperado:

-Jogos com vantagem: e (x)> 0

-Apostas justas: e (x) = 0

-Jogo de desvantagem: E (x) < 0

O problema é que, em um jogo de acaso, a esperança matemática nem sempre é fácil de calcular. E quando você pode o resultado, às vezes é decepcionante para quem pergunta se apostar ou não.

Vamos tentar com uma aposta simples: rosto ou cruz e aquele que perde paga um café de 1 $. Qual é o valor esperado desta aposta?

Pode atendê -lo: qual é a diretriz? (Geometria)

Bem, a probabilidade de ser cara é ½, assim como uma cruz sai. A variável aleatória é ganhar US $ 1 ou perder US $ 1, o ganho é indicado com sinal + e a perda com sinal -.

Organizamos as informações em uma tabela:

Nós multiplicamos os valores das colunas: 1. ½ = ½ y (-1). ½ = -½ e finalmente os resultados são adicionados. A soma é 0 e é um jogo justo, no qual os participantes devem ganhar ou perder.

Roleta e loteria francesas são jogos com uma desvantagem na qual a maioria dos traigadores perde. Mais tarde, há uma aposta um pouco mais complexa na seção de exercícios resolvidos.

Exemplos 

Aqui estão alguns exemplos simples em que o conceito de esperança matemática é intuitivo e esclarece o conceito:

Exemplo 1

Começaremos lançando um dado honesto. Qual é o valor de lançamento esperado? Bem, se os dados forem honestos e têm 6 rostos, a probabilidade de que qualquer valor (x = 1, 2, 3 ... 6) sai 1/6, como este:

E (x) = 1. (1/6) + 2. (1/6) + 3. (1/6) + 4. (1/6) + 5.(1/6) + 6. (1/6) = 21/6 = 3.5

Figura 3. No lançamento de um dado honesto, o valor esperado não é um valor possível. Fonte: Pixabay.

O valor esperado neste caso é igual à média, uma vez que cada face tem a mesma probabilidade de sair. Mas E (x) não é um valor possível, pois nenhum rosto vale 3.5. Isso é perfeitamente possível em algumas distribuições, embora neste caso o resultado não ajude muito a apostas.

Vejamos outro exemplo com o lançamento de duas moedas.

Exemplo 2

Duas moedas honestas são jogadas no ar e definem a variável aleatória x como o número de faces obtidas. Os eventos que podem ocorrer são os seguintes:

Pode atendê -lo: 90 divisores: o que são e explicação

-Nenhum rosto sai: 0 rostos que são iguais a 2 cruzes.

-1 rosto e 1 selo ou cruz sai.

-2 rostos saem.

Seja C uma face e um selo, o espaço de amostra que descreve esses eventos é o seguinte:

S_m = Selo-iso; SEAL-CARA; Face-yel; CARA-CARA = TT, TC, CT, CC

As chances dos eventos acontecem:

P (x = 0) = p (t).P (t) = ½ . ½ = ¼

P (x = 1) = p (tc) + p (ct) = p (t).P (c) + p (c).P (t) = ¼ +¼ = ½

P (x = 2) = p (c).P (c) = ½ . ½ = ¼

A tabela é construída com os valores obtidos:

De acordo com a definição dada no início, a esperança matemática é calculada como:

μ = e (x) = ∑ x_Yo. P (x_Yo) = x₁.P (x₁) + x₂.P (x₂) + x₃.P (x₃) +..

Substituindo valores:

E (x) = 0. ¼ + 1. ½ + 2. ¼ = ½ + ½ = 1

Este resultado é interpretado da seguinte maneira: se uma pessoa tiver tempo suficiente para fazer um grande número de experimentos que lançam as duas moedas, espera -se que ele obtenha um rosto em cada lançamento.

No entanto, sabemos que os lançamentos nos quais 2 selos saem são perfeitamente possíveis.

Exercício resolvido

No lançamento de duas moedas honestas, é feita a aposta seguinte: se 2 rostos forem lançados, eles ganham US $ 3, se 1 face for vencida, mas se dois selos forem lançados, você terá que pagar $ 5. Calcule o ganho esperado da aposta.

Figura 4. De acordo com a aposta, a esperança matemática muda lançando duas moedas honestas. Fonte: Pixabay.

Solução

A variável aleatória x são os valores que o dinheiro leva na aposta e as probabilidades foram calculadas no exemplo anterior; portanto, a tabela da aposta é:

E (x) = 3 . ¼ + 1. ½ + (-5) . ¼ = 0

Como o valor esperado é 0, é um jogo justo, então aqui é esperado que o apostador não ganhe e não perca. No entanto, quantidades de apostas podem ser alteradas para transformar a aposta em um jogo com uma vantagem ou um jogo com uma desvantagem.

Referências

1. Brase, c. 2009. Estatísticas subestais. Hougton Mifflin.
2. Olmedo, f. Introdução ao conceito de valor esperado ou esperança matemática de uma variável aleatória. Recuperado de: pessoal.nós.é.
3. Estatísticas Librettexts. Valor esperado de variáveis ​​aleatórias discretas. Recuperado de: estatísticas.Librettexts.org.
4. TRIOLA, m. 2010. Estatísticas elementares. 11º. Ed. Addison Wesley.
5. Walpole, r. 2007. Probabilidade e estatística para ciência e engenharia. 8º. Edição. Pearson Education.