Características e exemplos elipsóides

Ele Ellipsoid É uma superfície no espaço que pertence ao grupo de superfícies quadriciais e cuja equação geral é da forma:

Machado² + Por² + Cz² + Dxy + exz + fyz + gx + hy + iz + j = 0

É o equivalente tridimensional de uma elipse, caracterizada por ter traços elípticos e circulares em alguns casos especiais. Os traços são as curvas obtidas ao cruzar o elipsóide com um plano.

figura 1. Três elipsóides diferentes: acima de uma esfera em que os três meias -semi são os mesmos, até a esquerda, um esferóide, com duas metades e o eixo da metade igual e o eixo e, finalmente, para a direita, um esferóide triaxial, com três eixos de comprimento diferente. Fonte: Wikimedia Commons. Ag2gaeh/cc by-s (https: // criativecommons.Org/licenças/BY-SA/4.0)

Além do elipsóide, existem cinco outros quadriculares: hiperbolóide de uma folha e duas folhas, dois tipos de parabolóide (hiperbólico e elíptico) e o cone elíptico. Seus traços também são cônicos.

O elipsóide também pode ser expresso pela equação padrão nas coordenadas cartesianas. Um elipsóide focado na origem (0.0.0) e expresso dessa maneira, lembra a elipse, mas com um termo adicional:

Os valores de para, b e c São números reais maiores que 0 e representam os três elipsóides metade.

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Características elipsóides

- Equação padrão 

A equação padrão nas coordenadas cartesianas para a elipse focada no ponto (H, K, M) é:

- Equações paramétricas elipsóides

Nas coordenadas esféricas, o elipsóide pode ser descrito da seguinte forma:

x = um sin θ. cos φ

y = b sin θ. sin φ

Z = c cos θ

Os semi -fora elipsóides ainda são A, B e C, enquanto os parâmetros são os ângulos θ e φ da figura a seguir:

Figura 2. O sistema de coordenadas esféricas. O elipsóide pode ser parametrizado usando os ângulos mostrados teta e phi como parâmetros. Fonte: Wikimedia Commons. Domínio de eggs / pub.

- Rastreamentos elipsóides

A equação geral de uma superfície no espaço é f (x, y, z) = 0 e os traços da superfície são as curvas:

Pode atendê -lo: magnitude do vetor

- x = c; F (c, y, z) = 0

- y = c; F (x, c, z) = 0

- Z = c; F (x, y, c) = 0

No caso de um elipsóide, essas curvas são elipses e às vezes circunferências.

- Volume

O volume V do elipsóide é dado por (4/3) π vezes o produto de seus três meios -semi:

V = (4/3) π. abc

Casos elipsóides especiais

-Um elipsóide se torna uma esfera quando todos os modos são do mesmo tamanho: a = b = c ≠ 0. Isso faz sentido, porque o elipsóide é como uma esfera a que foi esticada de maneira diferente em cada eixo.

-O esferóide é um elipsóide no qual duas das semijes são idênticas e a terceira é diferente, por exemplo, pode ser a = b ≠ c.

O esferóide também é chamado de revolução elipsóide, porque pode ser gerado girando elipses em torno de um eixo.

Se o eixo de giro coincidir com o eixo principal, o esferóide será prolição, Mas se coincide com o eixo menor, é oblato:

Figura 3. Esferóide esquerda para a esquerda e prolção esferóide para a direita. Fonte: Wikimedia Commons.

A medida do achatamento do esferóide (elipticidade) é dada pela diferença de comprimento entre as duas semi -páginas, expressas em uma forma fracionária, ou seja, é a unidade achatada, dada por:

F = (a - b) / a

Nesta equação, a representa o semi -senije e o semi -eixo menor, lembre -se de que o terceiro eixo é igual a qualquer um deles para um esferóide. O valor de F está entre 0 e 1 e, para um esferóide, deve ser maior que 0 (se fosse igual a 0, teríamos simplesmente uma esfera).

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O elipsóide de referência

Os planetas e, em geral.

É por isso que a Terra acaba sendo um esferóide oblato, embora não tão exagerado quanto o da figura anterior, e por outro lado, o gigante gasoso de Saturno é o mais amargo dos planetas no sistema solar.

Portanto, uma maneira mais realista de representar os planetas é assumir que eles são como um esferóide ou elipsóide da revolução, cujo semi -semi -major é o rádio equatorial e o semi -eixo menor do raio polar.

Medidas cuidadosas feitas no mundo permitiram construir o Elipsoid de referência da Terra como sua forma mais precisa para trabalhar matematicamente.

As estrelas também têm movimentos de rotação que lhes dão formas mais ou menos achatadas. A estrela rápida da Aterna, a oitava estrela mais brilhante do céu noturno, na constelação sul de Eridanus é notavelmente elíptica ao compará -la com a maioria. São 144 anos -luz de nós.

No outro extremo, há alguns anos, os cientistas deram com o objeto mais esférico encontrado até agora: a estrela Kepler 11145123, 5000 anos -luz, com um tamanho duas vezes o do nosso sol e uma diferença entre as semi -mensagens de apenas 3 km. Como esperado, também gira mais lentamente.

Quanto à terra, não é um esferóide perfeito por causa de sua superfície acidentada e as variações locais de gravidade. É por isso que há mais de um esferóide de referência disponível e em cada site o mais apropriado para a geografia local é escolhido.

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A ajuda dos satélites é inestimável na criação de modelos cada vez mais precisos da forma da terra, graças a eles, é conhecido, por exemplo, que o Pólo Sul está mais próximo do Equador do que o Pólo Norte.

Figura 4. Haumea, o Planeta Dwarf Transneptuniano tem uma forma elipsoidal. Fonte: Wikimedia Commons.

Exemplo numérico

Devido à rotação da terra, é gerada uma força centrífuga que lhe confere a forma de um elipsóide oblongo, em vez de uma esfera. Sabe -se que o rádio equatorial da Terra é de 3963 milhas e o raio polar é de 3942 milhas.

Encontre a equação do traço equatorial, o deste elipsóide e a medida de seu achatamento. Compare também com a elipticidade de Saturno, com os dados fornecidos abaixo:

-Rádio Equatorial de Saturno: 60268 km

-Rádio Polar Saturno: 54364 km

Solução

É necessário um sistema de coordenadas, que assumiremos focado na origem (centro da terra). Assumiremos o eixo z vertical e o traço que corresponde ao equador está no plano XY, equivalente ao plano z = 0.

No plano equatorial, os semi -a e b são os mesmos, portanto a = b = 3963 milhas, enquanto C = 3942 milhas. Este é um caso especial: um esferóide focado no ponto (0,0.0), conforme declarado acima.

O traço equatorial é um círculo de raio r = 3963 milhas, focado na origem. É calculado fazendo z = 0 na equação padrão:

E a equação padrão do elipsóide da Terra é:

Finalmente, a medida de ajuste (elíptica) é calculada avaliando na equação:

F _Terra = (a - b) / a = (3963-3942) milhas / 3963 milhas = 0.0053

F _Saturno = (60268-54363) km/60268 km = 0.0980

Observe que o elíptico f é uma quantidade adimensional.

Referências

1. Arcgis para desktop. Esferóide e esferas. Recuperado de: Desktop.Arcgis.com.
2. BBC World. O mistério do objeto mais esférico já descoberto no universo. Recuperado de: BBC.com.
3. Larson, r. Cálculo e geometria analítica. Sexta edição. Volume 2. McGraw Hill.
4. Wikipedia. Elipsooid. Recuperado de: em.Wikipedia.org.
5. Wikipedia. Siperóide. Recuperado de: em.Wikipedia.org.