Equação Geral de Parábola (Exemplos e Exercícios)

O Equação geral de parábola contém termos quadráticos em x e em e, bem como termos lineares em ambas as variáveis, mais um termo independente. O primeiro eixo de simetria é paralelo ao eixo vertical e o do segundo é o eixo horizontal.

Em geral, a equação quadrática que não possui o termo cruzado XY Está escrito como:

Machado² + Cy² +Dx + ey + f = 0

Os valores de A, C, D, E e F são números reais. Impondo as condições em ∙ c = 0 e a+c ≠ 0, a curva resultante do gráfico dos pontos que satisfazem essa equação é uma parábola.

Caso 1

Para uma parábola vertical, sua equação geral é:

Machado² + Dx + ey + f = 0

Onde A e E são diferentes de 0. Em outras palavras, quando um termo aparece com x², A parábola é vertical.

Caso 2

Por sua parte, para a parábola horizontal que você tem:

Cy² + Dx + ey + f = 0

Aqui C e D também são diferentes de 0, portanto o termo quadrático corresponde a e².

De qualquer forma, a equação geral da parábola é quadrática em uma das variáveis ​​e lineares no outro.

Elementos parábolas

Figura 2. Elementos parábolas. As distâncias qf e qh são iguais. Fonte: Wikimedia Commons.

A parábola, definida como um local geométrico, consiste no conjunto de pontos de um plano que equivale a outro ponto chamado foco E também de uma linha, conhecida como diretriz direta.

Da equação geral, é possível estudar a parábola especificando seus elementos. Incluindo o foco e a diretriz, esses elementos descritos são brevemente:

-Eixo, que se refere ao eixo de simetria da parábola, pode ser horizontal (paralelo ao eixo da abscissa) ou vertical (paralelo ao eixo das ordenadas).

Pode atendê -lo: fator comum para agrupar termos: exemplos, exercícios

-Orientação, que por sua vez corresponde à orientação do eixo. A parábola é vertical se seu eixo de simetria for vertical e é horizontal quando o eixo também estiver.

-Vértice, É o ponto em que o eixo cruza a parábola.

-Foco, ponto localizado no eixo, dentro da parábola e à distância p do vértice. Todos os pontos da parábola equidistista o foco e a direção da diretriz.

-Parâmetro, É a distância p Entre o foco e o vértice.

-Diretriz direta, que é perpendicular ao eixo y e também uma distância p do vértice da parábola, mas não o intercepta, pois está do lado de fora.

-Lado reto, É a corda que passa pelo foco, cruzando a parábola em dois pontos, perpendicularmente ao seu eixo.

-Excentricidade, que no caso da parábola sempre vale 1.

-Representação gráfica.

Informações para determinar todos esses elementos estão contidos na equação geral.

A forma canônica

Para determinar os elementos da parábola, às vezes é conveniente passar a forma geral para a forma canônica da mesma, por meio do método de completar quadrados na variável quadrática.

Esta forma canônica é:

(X-h)² = 4p (y-k)

Onde ponto (h, k) é o vértice v da parábola. A forma canônica para a equação geral também pode se tornar, desenvolvendo o produto notável e reorganizando os termos.

Exemplos

Exemplo 1

Os seguintes são as equações de Parabola em geral:

a) 4x² + 5y - 3 = 0

b) 1 - 2y + 3x - e² = 0

Em a) os coeficientes são identificados: a = 4, c = 0, d = 0, e = 5, f = -3. É uma parábola cujo eixo de simetria é vertical.

Pode atendê -lo: divisão sintética

Por sua parte, em b) a equação geral permanece:

- e² + 3x - 2y + 1 = 0

E os coeficientes são: c = -1, d = 3, e = -2 e f = 1.

Exemplo 2

A próxima parábola é de forma canônica:

(Y-1)² = 6 (X-3)

Para encontrar sua equação geral, o produto notável é desenvolvido e os parênteses são realizados à direita:

e² -2y + 1 = 6x -18

Agora, todos os termos à esquerda são passados ​​e são agrupados convenientemente:

e² -2y + 1- 6x +18 = 0 → e² - 6x -2y + 19 = 0

Como o termo quadrático é e² É uma parábola horizontal. Os coeficientes são:

C = 1; D = -6; E = -2, f = 19.

Exercícios resolvidos

Exercício 1

A próxima parábola é dada em geral:

x² -10x -12y - 11 = 0

É solicitado a escrevê -lo na forma canônica.

Solução

Vá para a forma canônica é alcançada com a conclusão de quadrados, neste caso, na variável x. Os termos em x começam entre parênteses:

(x² -10x) -12y - 11 = 0

Você precisa transformar o que está entre parênteses em um trinômio quadrado perfeito, que é alcançado adicionando 5², Isso naturalmente precisa ser subtraído, porque, caso contrário, a expressão é alterada. Permanece assim:

(x² −10x+5²) -12y - 11−5²= 0

Os três termos entre parênteses constituem o trinômio quadrado perfeito (X-5)². Pode ser verificado desenvolvendo este produto notável para corroborar. Agora a parábola permanece:

(X-5)² -12y -36 = 0

O que se segue é levar em consideração os termos fora dos parênteses:

(X-5)² -12 (y +3) = 0

Que finalmente se transforma em:

(X-5)² = 12 (y +3)

Exemplo 2

Encontre os elementos da parábola anterior e construa seus gráficos.

Solução

Vértice

O vértice da parábola tem coordenadas v (5, -3)

Pode servir você: prisma hepagonal

Eixo

A linha x = 5.

Parâmetro

Sobre o valor do parâmetro p que aparece na forma canônica: (x-h)² = 4p (y-k) está comparando as duas equações:

4p = 12

P = 12/4 = 3

Orientação

Esta parábola é vertical e abre. Como o vértice está localizado em x = 5, y = -3, o eixo da simetria é a linha vertical x = 5.

Foco

O foco está na linha x = 5, portanto, possui uma coordenada x = 5 também.

A coordenada e do foco deve ser as unidades P acima de k, ou seja: p + k = 3 + (-3) = 0, então o foco está no ponto (5.0).

Diretriz direta

É perpendicular ao eixo, portanto, é da forma y = c, agora, como uma distância P do vértice está longe de ser, mas fora da parábola, significa que está a uma distância P abaixo de k:

y = k -p = -3-3 = -6

Lado reto

Esse segmento corta para a parábola, passa pelo foco e é paralelo à diretriz, portanto está contida na linha y = 0.

Representação gráfica

Pode ser facilmente obtido do software gráfico online gratuito, como geogebra. Na caixa de entrada, é colocado da seguinte maneira:

Figura 3. Gráfico da parábola x² -10x -12y - 11 = 0. Fonte: f. Zapata.

Referências

1. Baldor. 1977. Álgebra Elementar. Edições culturais venezuelanas.
2. Hoffman, J. Seleção de questões de matemática. Volume 2.
3. Jiménez, r. 2008. Álgebra. Prentice Hall.
4. Stewart, J. 2006. Preccculment: Matemática para Cálculo. 5 ª. Edição. Cengage Learning.
5. Zill, d. 1984. Álgebra e trigonometria. McGraw Hill.