Integração Constante Significado, Cálculo e Exemplos

O Constante de integração É um valor agregado ao cálculo dos antiderivativos ou integrais, serve para representar as soluções que compõem a primitiva de uma função. Expressa uma ambiguidade inerente, onde qualquer função tem um número infinito de.

Por exemplo, se a função for tirada: f (x) = 2x + 1 e obtivermos sua antiderivada:

∫ (2x+1) dx = x² + x + C ; Onde C É o Constante de integração e representa graficamente a tradução vertical entre as infinitas possibilidades de. É correto dizer que (x² + x) É a do F (x) primitivo.

Fonte: Autor

Da mesma maneira que você pode definir (x² + x + C ) como o primitivo de f (x).

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Propriedade inversa

Pode -se notar que quando derivou a expressão (x² + x) A função f (x) = 2x + 1 é obtida. Isso se deve à propriedade inversa entre a derivação e a integração das funções. Esta propriedade permite obter fórmulas de integração a partir da diferenciação. Que permite a verificação de integrais através dos mesmos derivados.

Fonte: Autor

No entanto (x² + x) Não é a única função cuja derivada é igual a (2x + 1).

1. D (x² + x)/ dx = 2x + 1
2. D (x² + x + 1)/ dx = 2x + 1
3. D (x² + x + 2)/ dx = 2x + 1
4. D (x² + x + 3)/ dx = 2x + 1
5. D (x² + x + C)/ dx = 2x + 1

Onde 1, 2, 3 e 4 representam particular primitivo de f (x) = 2x + 1. Enquanto 5 representa a integral indefinida ou primitiva de f (x) = 2x + 1.

Fonte: Autor

O primitivo de uma função é alcançado através da antiderivação ou processo integral. Onde f será um primitivo F se o seguinte for cumprido

• y = ∫ f (x) dx = F (x) + c; C = Constante de integração
• F '(x) = f (x)

Aprecia -se que uma função tenha um único derivado, ao contrário de sua infinita primitiva resultante da integração.

A integral indefinida

 ∫ f (x) dx = f (x) + c

Corresponde a uma família de curvas com o mesmo padrão, que experimenta incongruência no valor das imagens de cada ponto (x, y). Cada função que cumpre esse padrão será um primitivo individual e o conjunto de todas as funções é conhecido como Integral indefinida.

O valor do Constante de integração Será o que diferencia cada função na prática.

O Constante de integração Sugere um deslocamento vertical em todos os gráficos que representam o primitivo de uma função. Onde o paralelismo é observado entre eles e o fato de que C É o valor do deslocamento.

De acordo com práticas comuns Constante de integração É indicado com a letra "C" após uma adição, embora na prática seja indiferente se a constante adicionar ou subtrair. Seu valor real pode ser encontrado de várias maneiras de acordo com a diferente condições iniciais.

Outros significados da constante de integração

Já se falou de como Constante de integração é aplicado no ramo de cálculo integral; Representando uma família de curvas que definem a integral indefinida. Mas muitas outras ciências e ramos atribuíram valores muito interessantes e práticos do Constante de integração, que facilitaram o desenvolvimento de vários estudos.

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No físico A constante de integração pode levar vários valores de acordo com a natureza dos dados. Um exemplo muito comum é conhecer a função V (t) que representa o velocidade de uma partícula versus o tempo t. Sabe -se que, ao calcular um v (t) primitivo, a função é obtida R (t) que representa o posição da partícula versus tempo.

O Constante de integração representará o valor da posição inicial, ou seja, no momento t = 0.

Da mesma forma, se a função for conhecida NO)  que representa o aceleração da partícula versus tempo. O primitivo de A (t) resultará na função v (t), onde o Constante de integração Será o valor da velocidade inicial v₀.

No economia, obtendo a primitiva de uma função de custo por integração. O Constante de integração representará os custos fixos. E tantos outros aplicativos que merecem cálculo diferencial e integral.

Como a constante de integração é calculada?

Para o cálculo do Constante de integração, Sempre será necessário saber o condições iniciais. Que são responsáveis ​​por definir qual dos possíveis primitivos é o correspondente.

Em muitas aplicações, é tratado como uma variável independente ao tempo (t), onde a constante C Pegue os valores que definem o condições iniciais do caso particular.

Se o exemplo inicial for tomado: ∫ (2x+1) dx = x² + x + C

Uma condição inicial válida pode ser para condicionar o gráfico para passar por uma coordenada específica. Por exemplo, sabe -se que primitivo (x² + x + C) Passe pelo ponto (1, 2)

F (x) = x² + x + C; Esta é a solução geral

F (1) = 2

Substituímos a solução geral nesta igualdade

F (1) = (1)² + (1) + c = 2

Onde é facilmente deduzido que C = 0

Dessa maneira, o primitivo correspondente para este caso é F (x) = x² + x

Existem vários tipos de exercícios numéricos que funcionam com Constantes de integração. De fato, o cálculo diferencial e integral não deixa de ser aplicado nas investigações atuais. Em diferentes níveis acadêmicos, você pode encontrar; Do cálculo inicial, através da física, química, biologia, economia, entre outros.

Também é apreciado no estudo de equações diferenciais, onde o Constante de integração Você pode tomar vários valores e soluções, devido às múltiplas referências e integrações que são realizadas neste assunto.

Exemplos

Exemplo 1

1. Um canhão localizado a 30 metros de altura brotos verticalmente em um projétil. Sabe -se que a velocidade inicial do projétil é de 25 m/s. Determinar:

• A função que define a posição do projétil em relação ao tempo.
• O tempo de voo ou o tempo em que a partícula reproduz o solo.

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Sabe -se que em uma aceleração retilínea uniformemente variada é um valor constante. Este é o caso do lançamento do projétil, onde a aceleração será a gravidade

G = - 10 m/s²

Sabe -se também que a aceleração é a segunda derivada da posição, indicando uma dupla integração na resolução do exercício, obtendo assim dois Constantes de integração.

A (t) = -10

V (t) = ∫a (t) dt = ∫ (-10t) dt = -10t + C₁

As condições iniciais do exercício indicam que a velocidade inicial é V₀ = 25 m/s. Esta é a velocidade no momento t = 0. Dessa forma, é cumprido que:

V (0) = 25 = -10 (0) + C₁   e C₁ = 25

A função de velocidade sendo definida

V (t) = -10t + 25; Você pode ver a semelhança com a fórmula mRuv (v_F = V₀ + A x t)

Em homólogo, a função de velocidade é integrada para alcançar a expressão que define a posição:

R (t) = ∫v (t) dt = ∫ (-10t+25) dt = -5t² + 25t + C₂

R (t) = -5t² + 25t + C₂  (Posição primitiva)

A posição inicial r (0) = 30 m é conhecida. Então o primitivo particular do projétil é calculado.

R (0) = 30m = -5 (0)² + 25 (0) + C₂ . Onde C₂ = 30

A primeira seção é resolvida desde R (t) = -5t² + 25t + 30  ; Esta expressão é homóloga à fórmula de deslocamento em MRUV R (t) = R₀ + V₀T - GT²/2

Para a segunda seção, a equação quadrática deve ser resolvida: -5t² + 25t + 30 = 0

Uma vez que condiciona a partícula para alcançar o solo (posição = 0)

Fonte: Autor

Na verdade, a equação da 2ª série lança 2 soluções t: 6, -1. O valor t = -1 é ignorado porque são unidades de tempo cujo domínio não inclui números negativos.

Dessa maneira, a segunda seção onde o tempo de voo é igual a 6 segundos é resolvido.

Exemplo 2

2. Encontre o F (x) primitivo que atenda às condições iniciais:

• f "(x) = 4; f '(2) = 2; f (0) = 7

Com as informações do segundo derivado f "(x) = 4, o processo de antiderivação começa

f '(x) = ∫f "(x) dx

∫4 dx = 4x + c₁

Então, conhecendo a condição f '(2) = 2 prossegue:

4 (2) + C₁ = 2

C₁ = -6 e f '(x) = 4x - 8

Prosseguir da mesma maneira para o segundo Constante de integração

f (x) = ∫f '(x) dx
∫ (4x - 8) dx = 2x² - 8x + c₂

A condição inicial f (0) = 7 é conhecida e prossiga:

2 (0)² - 8 (0) + C₂ = 7

C₂ = 7 e f (x) = 2x² - 8x + 7

• f "(x) = x² ; f '(0) = 6; f (0) = 3

Semelhante ao problema anterior, definimos os primeiros derivados e a função original das condições iniciais.

f '(x) = ∫f "(x) dx

∫ (x²) Dx = (x³/3) + C₁

Com condição f '(0) = 6 prossegue:

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(0³/3) + C₁ = 6; Onde₁ = 6 e f '(x) = (x³/3) + 6

Então o segundo Constante de integração

f (x) = ∫f '(x) dx

∫ [(x³/3) + 6] dx = (x⁴/12) + 6x + c₂

A condição inicial f (0) = 3 é conhecida e prossiga:

[(0)⁴/12] + 6 (0) + c₂ = 3; Onde₂ = 3

O primitivo particular é obtido

f (x) = (x⁴/12) + 6x + 3

Exemplo 3

3. Defina as funções primitivas, dados os derivados e um ponto do gráfico:

• dy/dx = 2x - 2 que passa pelo ponto (3, 2)

É importante lembrar que os derivados se referem à inclinação da linha tangente à curva em um determinado ponto. Onde não é correto supor que o gráfico do derivado toca o ponto indicado, pois pertence ao gráfico da função primitiva.

Dessa maneira, expressamos a equação diferencial da seguinte maneira:

dy = (2x - 2) DX  ; Então, ao aplicar os critérios de antiderivação que você possui:

∫dy = ∫ (2x - 2) dx

y = x² - 2x + c

Aplicando a condição inicial:

2 = (3)² - 2 (3) + C

C = -1

Se obtem: f (x) = x² - 2x - 1

• dy/dx = 3x² - 1 que passa pelo ponto (0, 2)

Expressamos a equação diferencial da seguinte maneira:

dy = (3x² - 1) DX  ; Então, ao aplicar os critérios de antiderivação que você possui:

 ∫dy = ∫ (3x² - 1) DX

y = x³ - x + c

Aplicando a condição inicial:

2 = (0)² - 2 (0) + C

C = 2

Se obtem: f (x) = x³ - x + 2

Exercícios propostos

Exercício 1

1. Encontre o F (x) primitivo que atenda às condições iniciais:

• f "(x) = x; f '(3) = 1; f (2) = 5
• f "(x) = x + 1; f '(2) = 2; f (0) = 1
• f "(x) = 1; f '(2) = 3; f (1) = 10
• f "(x) = -x; f '(5) = 1; f (1) = -8

Exercício 2

2. Um balão que sobe com velocidade de 16 pés/s libera uma jaqueta de areia a partir de uma altura de 64 pés acima do nível do solo.

• Defina o tempo de voo
• Qual será o vetor V_F Quando você toca no chão?

Exercício 3

3. A figura mostra o gráfico de aceleração - tempo de um carro que se move no sentido positivo do eixo x. O carro estava viajando a uma velocidade constante de 54 km/h quando o motorista aplicou os freios para parar em 10 segundos. Determinar:

• A aceleração inicial do carro
• A velocidade do carro em t = 5s
• O deslocamento do carro durante a frenagem

Fonte: Autor

Exercício 4

4. Defina as funções primitivas, dados os derivados e um ponto do gráfico:

• dy/dx = x que passa pelo ponto (-1, 4)
• dy/dx = -x² + 1 que passa pelo ponto (0, 0)
• dy/dx = -x + 1 que passa pelo ponto (-2, 2)

Referências

1. Cálculo integral. Métodos de integração e integração indefinidos. Wilson, Velásquez Bastidas. Universidade Magdalena 2014
2. Stewart, J. (2001). Cálculo de uma variável. Transcendente precoce. México: Thomson Learning.
3. Jiménez, r. (2011). Matemática VI. Cálculo integral. México: Pearson Education.
4. Física i. Mc Graw Hill