Medida de arco (geometria), tipos de arcos, exemplos

Ele arco, Na geometria, é qualquer linha curva que conecte dois pontos. Uma linha curva, diferentemente de uma linha reta, é que cuja direção é diferente em cada ponto do mesmo. O oposto de um arco é um segmento, pois esta é uma seção reta que se junta a dois pontos.

O arco que é mais frequentemente usado na geometria é o arco de circunferência. Outros arcos de uso comum são o arco parabólico, o arco elíptico e o arco de catenária. A forma de arco também é frequentemente usada na arquitetura como elemento decorativo e elemento estrutural. Este é o caso dos lintéis das portas e janelas, bem como das pontes e aquedutos.

figura 1. O arco -íris é uma linha curva que se junta a dois pontos no horizonte. Fonte: Pixabay

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O arco e sua medida

A medida de um arco é o seu comprimento, que depende do tipo de curva que conecta os dois pontos e a localização deles.

O comprimento de um arco circular é um dos mais fáceis de calcular, porque todo o comprimento ou perímetro do arco é conhecido.

O perímetro de um círculo é dois pi vezes o seu rádio: P = 2 π r. Sabendo disso, se você deseja calcular o comprimento s de um arco circular de ângulo α (medido em Radianes) e rádio R, Uma proporção é aplicada:

(s / p) = (α / 2 π)

Depois limpar s da expressão anterior e substituindo o perímetro p por sua expressão, dependendo do rádio R, se tem:

S = (α / 2 π) p = (α / 2 π) (2 π r) = α r.

Ou seja, a medida de um arco circular é o produto de sua abertura angular pelo raio do arco circular.

Para um arco de uma maneira geral, o problema é mais complicado, a ponto de os grandes pensadores da antiguidade alegavam que era uma tarefa impossível.

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Não foi até o advento do cálculo diferencial e integral em 1665, que o problema da medida de qualquer arco foi resolvido satisfatoriamente. 

Antes da invenção do cálculo diferencial, apenas soluções podiam ser encontradas através do uso de arcos poligonais ou de circunferência que se aproximavam do verdadeiro arco, mas essas soluções não eram exatas. 

Tipos de arcos

Do ponto de vista da geometria, os arcos são classificados de acordo com a linha curva que se junta a dois pontos do avião. Existem outras classificações de acordo com seu uso e formulário arquitetônico.

Arco circular

Quando a linha que conecta dois pontos do avião é uma parte da circunferência de um certo raio, há um arco circular. A Figura 2 mostra um arco circular de raio r que conecta os pontos A e B.

Figura 2. Radio R Circular ARC que conecta o ponto A e B. Preparado por Ricardo Pérez.

Arco parabólico

A parábola é a trajetória que segue um objeto que foi jogado no ar em forma oblíqua. Quando a curva que se junta a dois pontos é uma parábola, então há um arco parabólico como o mostrado na Figura 3.

Figura 3. Arco parabólico que conecta os pontos A e B. Preparado por Ricardo Pérez.

Esta é a forma que adota o jato de água que sai de uma mangueira que aponta. O arco parabólico pode ser observado nas fontes de água.

Figura 4. Arco parabólico formado pela água a partir de uma fonte em Dresden. Fonte: Pixabay.

Arco da Catenária

O arco da catenária é outro arco natural. O Catenário é a curva que é naturalmente formada quando uma corrente ou uma corda pendura confortavelmente em dois pontos separados.

Pode atendê -lo: quais são os elementos de um ângulo? Figura 5. Arco catenário e comparação com o arco parabólico. Preparado por Ricardo Pérez.

O catenário é semelhante à parábola, mas não é exatamente o mesmo que pode ser observado na Figura 4.

O arco em forma de catenária invertida é usado na arquitetura como um elemento estrutural de alta resistência à compressão. De fato, pode ser demonstrado que é o tipo de arco mais resistente entre todas as formas possíveis. 

Para construir um arco de catenária sólida, apenas a forma de uma corda ou corrente é copiada, então a forma copiada gira para reproduzi -la na porta lintel ou janela.

Arco elíptico

Um arco é elíptico se a curva que conecta dois pontos for um trecho ou alongamento de elipse. A elipse é definida como o local geométrico dos pontos cuja distância a dois pontos dados sempre adiciona uma quantidade constante.

A elipse é uma curva que aparece na natureza: é a curva da trajetória do planeta ao redor do sol, como Johannes Kepler demonstrou em 1609.

Na prática, uma elipse pode ser desenhada definindo dois suportes no chão ou dois pinos no papel e amarrando uma corda para eles. Então a corda está tensa com o marcador ou lápis e a curva é desenhada. Um pedaço de elipse é um arco elíptico. A animação a seguir ilustra como a elipse é desenhada:

Figura 5. Posen de uma elipse usando uma corda tensa. Fonte: Wikimedia Commons

A Figura 6 mostra um arco elíptico que conecta pontos G e H.

Figura 6. Arco elíptico que conecta dois pontos. Preparado por Ricardo Pérez.

Exemplos de arcos

Os exemplos a seguir se referem a como calcular o perímetro de alguns arcos específicos.

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Exemplo 1

A Figura 7 mostra uma janela terminada no arco circular cortado. As dimensões mostradas na figura estão nos pés. Calcule o comprimento do arco.

Figura 7. Cálculo do comprimento do arco circular de uma janela. (Anotações próprias - Imagem da janela em Pixabay)

Para obter o centro e o raio do arco circular do lintel da janela, as seguintes construções são feitas na imagem:

-O segmento KL é desenhado e seu mediatrix é desenhado.

-Então o ponto mais alto do lintel está localizado, que chamamos de M. O segmento de KM é então considerado e seu mediatrix é desenhado.

A interceptação dos dois mediatrices é o ponto n e também é o centro do arco circular.

-Agora você precisa medir o comprimento do segmento NM, que coincide com o raio r do arco circular: r = 2.8 pés.

-Para conhecer o comprimento do arco além do raio, o ângulo que forma o arco. Que pode ser determinado por dois métodos ou é medido com um transportador, ou calculado alternadamente usando trigonometria.

No caso mostrado, o ângulo que forma o arco é de 91,13º, que deve ser convertido em radianes:

 91,13º = 91,13º * π / 180º = 1,59 radianos

Finalmente calculamos o comprimento s do arco através da fórmula S = α r.

S = 1,59 * 2.8 pés = 4,45 pés

Exemplo 2

Encontre o comprimento do arco elíptico mostrado na Figura 8, conhecido r e o semi -eixo menor s da elipse.

Figura 8. Arco elíptico entre GH. Preparado por Ricardo Pérez.

Encontrar a duração de uma elipse foi por muito tempo um dos problemas mais difíceis da matemática. Soluções expressas por integrais elípticas podem ser obtidas, mas para ter um valor numérico, essas integrais na série de poder devem ser expandidas. Um resultado exato exigiria termos infinitos daquelas séries.

Felizmente, o gênio matemático de origem hindu Ramanujan, que viveu entre 1887 e 1920, encontrou uma fórmula que se aproxima muito precisamente o perímetro de uma elipse:

Perímetro de uma elipse = π [3 (r + s) - √ ((3r + s) (r + 3s))]]]

O perímetro de uma elipse com r = 3 cm e s = 2.24 cm é de 16,55 cm. No entanto, o arco elíptico mostrado tem metade desse valor:

Comprimento elíptico do arco gh = 8.28 cm.

Referências

1. Clemens s. 2008. Geometria e trigonometria. Pearson Education.
2. Garcia f. Procedimentos numéricos em Java. Comprimento de uma elipse. Recuperado de: SC.Ehu.é
3. Geometria dinâmica. Arcos. Recuperado da geometriadinamica.é
4. Pemedas. Elipses e parábolas ao nosso redor. Recuperado de: pizedas.com
5. Wikipedia. Arco (geometria). Recuperado de: é.Wikipedia.com