Laplace Transform

O que é a transformação de Laplace?

O Laplace Transform Nos últimos anos, tem sido de grande importância em engenharia, matemática, física, entre outras áreas científicas, pois, além de ser de grande interesse na teórica, fornece uma maneira simples de resolver equações diferenciais, transformando -as em equações algébricas.

Originalmente, a transformação de Laplace foi apresentada por Pierre-Simon Laplace (1745-1827) em seu estudo sobre a teoria da probabilidade, e em princípio foi tratado como um objeto matemático de interesse apenas teórico.

As aplicações atuais surgem quando vários matemáticos tentaram dar uma justificativa formal às “regras operacionais” usadas por Oliver Heaviside (1850-1925) no estudo de equações da teoria eletromagnética.

Definição da transformação de Laplace

Seja f uma função definida para t ≥ 0. A transformação de Laplace é definida da seguinte maneira:

Dizem que a transformação de Laplace existe se a integral anterior converter, caso contrário, diz -se que a transformação de Laplace não existe.

Em geral, denotar a função desejada para transformar pequenas letras e a letra maiúscula corresponde à sua transformação. Dessa forma, teremos:

Exemplos

Considere a função constante f (t) = 1. Temos que transformar:

Desde que a integral converge, ou seja, desde que s> 0. Caso contrário, s < 0, la integral diverge.

Seja g (t) = t. Sua transformação de Laplace é dada por:

Ao se integrar por peças e saber que^-St Ele tende a 0 quando t tende ao infinito e S> 0, juntamente com o exemplo anterior, precisamos:

O transformal pode ou não existir, por exemplo, para a função f (t) = 1/t, a integral que define sua transformação de Laplace não converge e, portanto, sua transformada não existe.

As condições suficientes para garantir que a transformação de Laplace de uma função F exista é que F é contínuo em partes para t ≥ 0 e é de ordem exponencial.

Dizem que uma função é contínua em partes para t ≥ 0, quando para qualquer intervalo [a, b] com A> 0, há um número finito de pontos t_k, Onde f tem descontinuidades e é contínuo em cada subinterval [t_K-1,t_k].

Por outro lado, diz -se que uma função exponencial c se houver constantes reais m> 0, c e t> 0 tal que:

Como exemplos, temos que f (t) = t² É exponencial, já que | t²| < e^3t Para todos t> 0.

Formalmente, temos o seguinte teorema:

Teorema (condições suficientes para a existência)

Se F é uma função contínua para T> 0 e exponencial C, então há a transformação de Laplace para S> C.

É importante destacar que essa é uma condição de suficiência, ou seja, que pode haver um caso de que exista uma função que não atenda a essas condições e, no entanto, sua transformação de Laplace existe.

Um exemplo disso é a função f (t) = t^-1/2 que não é contínuo em partes para t ≥ 0, mas sua transformação de Laplace existe.

Transformação de Laplace de algumas funções básicas

A tabela a seguir mostra as transformações de Laplace das funções mais comuns.

Pode atendê -lo: números inteiros

História da transformação de Laplace

A transformação de Laplace deve seu nome a Pierre-Simon Laplace, matemático e astrônomo e teórico francês nascido em 1749 e morreu em 1827. Sua fama era tal que ele era conhecido como Newton na França.

Em 1744, Leonard Euler (1707-1783) dedicou seus estudos a integrais com a forma

como soluções de equações diferenciais comuns, mas rapidamente abandonou esta pesquisa. Mais tarde, Joseph Louis Lagrange (1736-1813), que admirou muito Euler, também investigou esse tipo de integral e os relacionou à teoria da probabilidade.

1782, Laplace

Em 1782, Laplace começou a estudar essas integrais como soluções para equações diferenciais e, segundo os historiadores, em 1785, ele decidiu reformar o problema, que mais tarde deu à luz as transformações de Laplace, como são entendidas hoje.

Tendo sido introduzido no campo da teoria da probabilidade, era de pouco interesse para os cientistas do momento e só era visto como um objeto matemático apenas de interesse teórico.

Heaviside Oliver

Foi em meados do século XIX quando o engenheiro inglês Oliver Heaviside descobriu que os operadores diferenciais podem ser tratados como variáveis ​​algébricas, dando assim sua aplicação moderna às transformações de Laplace.

Oliver Heaviside era um físico, engenheiro elétrico e matemático inglês que nasceu em 1850 em Londres e morreu em 1925. Enquanto tentava resolver problemas de equações diferenciais aplicadas à teoria da vibração e, usando estudos de Laplace, começou a moldar as aplicações modernas das transformações de LaPla.

Os resultados expostos por Heaviside se espalham rapidamente.

No entanto, a utilidade do trabalho de Heaviside ao resolver equações de física fez com que seus métodos fossem populares entre físicos e engenheiros.

Apesar desses contratempos e depois de algumas décadas de tentativas fracassadas, no início do século XX, poderia receber uma justificativa rigorosa às regras operacionais estabelecidas por Heaviside.

Essas tentativas valeram a pena graças aos esforços de vários matemáticos, como Bromwich, Carson, van der Pol, entre outros.

LapLace Transform Properties

Entre as propriedades da transformação de Laplace, o seguinte se destaca:

Linearidade

Deixe as funções constantes e f (t) e g (t) e g (t) cujas transformações de Laplace são f (s) e g (s), respectivamente, então ele deve:

Devido a esta propriedade, diz -se que a transformação de Laplace é um operador linear.

Exemplo:

Primeira tradução Teorema

Se acontecer que:

E 'a' é um número real, então:

Exemplo:

Como a Laplace de Cos Transform (2T) = S/(S^2 + 4) então:

Segunda Tradução Teorema

Sim

Então

Exemplo:

Se f (t) = t^3, então f (s) = 6/s^4. E, portanto, a transformação de 

é g (s) = 6e^-2s/s^4

Mudança de escala

Sim

E 'a' é realmente diferente de zero, temos que

Exemplo:

Como a transformação de f (t) = sen (t) é f (s) = 1/(s^2 + 1)

Pode servir a você: notação desenvolvida: o que é, exemplos e exercícios

Laplace se transformou de derivados

Se f, f ', f ", ..., f^(N) Eles são contínuos para t ≥ 0 e são exponenciais e f^(N)(t) é contínuo em partes para t ≥ 0, então

Transformação integral de Laplace

Sim

Então

Multiplicação por tⁿ

Se tivermos que

Então

Divisão por t

Se tivermos que

Então

Funções periódicas

Seja f uma função periódica com o período t> 0, ou seja, f (t +t) = f (t), então

Comportamento de f (s) Quando S tende ao infinito

Se f é contínuo em partes e de ordem exponencial e

Então

Inverso transformado

Quando aplicamos a transformação de Laplace em uma função f (t), obtemos f (s), que representa a referida transformação. Da mesma maneira, podemos dizer que f (t) é a transformação do Laplace inverso de f (s) e é escrito como

Sabemos que as transformações de Laplace de f (t) = 1 e g (t) = t são f (s) = 1/s e g (s) = 1/s² respectivamente, portanto, temos que

Alguns Laplace comum transformados são os seguintes

Além disso, a transformação reversa de Laplace é linear, ou seja, é cumprida que

Exercício

Encontrar

Para resolver este exercício, devemos corresponder à função F (s) com parte da tabela anterior. Nesse caso, se tomarmos n + 1 = 5 e usando a propriedade linearidade da transformação reversa, multiplamos e dividimos por 4! Recebendo

Para a segunda transformação inversa, aplicamos frações parciais para reescrever a função f (s) e depois a propriedade da linearidade, obtendo

Como podemos ver nesses exemplos, é comum que a função f (s) avaliada não corresponda exatamente a nenhuma das funções dadas na tabela. Para esses casos, como observado, basta reescrever a função até atingir a forma correta.

Laplace Transform Applications

Equações diferenciais

A principal aplicação que LaPlace Transforma possui é resolver equações diferenciais.

Usando a propriedade da transformação de um derivado, fica claro que

E do N-1 derivado avaliado em t = 0.

Esta propriedade torna o transformado.

Os exemplos a seguir mostram como usar a transformação de Laplace para resolver equações diferenciais.

Exemplo 1

Dado o seguinte problema de valor inicial

Use a transformação Laplace para encontrar a solução.

Aplicamos a transformação de Laplace a cada membro da equação diferencial

Para a propriedade da transformação de um derivado, temos

Ao desenvolver toda a expressão e limpeza e (s), temos

Usando frações parciais para reescrever o lado direito da equação que obtemos

Finalmente, nosso objetivo é encontrar uma função e (t) que satisfaz a equação diferencial. Usando a transformação inversa de Laplace, ele resulta em

Exemplo 2

Resolver

Como no caso anterior, aplicamos os transformados em ambos os lados da equação e termo separado.

Dessa forma, temos como resultado

Substituindo pelos valores iniciais dados e compensação e (s)

Usando frações simples, podemos reescrever como a equação segue

E aplicar a transformação reversa do Laplace nos dá como resultado

Nesses exemplos, pode -se chegar a conclusão errada de que esse método não é muito melhor do que os métodos tradicionais para resolver equações diferenciais.

Pode atendê -lo: proporção

As vantagens oferecidas pela transformação de Laplace é que ela não é necessária.

Além disso, ao resolver problemas de valor inicial por esse método, desde o início usamos as condições iniciais, portanto não é necessário executar outros cálculos para encontrar a solução específica.

Sistemas de equações diferenciais

A transformação de Laplace também pode ser usada para encontrar soluções para equações diferenciais ordinárias simultâneas, como mostrado no exemplo a seguir.

Exemplo

Resolver

Com as condições iniciais x (0) = 8 e y (0) = 3.

Se tivermos que

Então

Resolver -nos como resultado

E ao aplicar a transformação reversa de Laplace, temos

Mecânica e circuitos elétricos

A transformação de LaPlace é de grande importância na física, tem principalmente aplicações para mecânica e circuitos elétricos.

Um circuito elétrico simples é composto pelos seguintes elementos:

Elementos de um circuito elétrico

Um interruptor, uma bateria ou fonte, um indutor, uma resistência e um capacitor. Quando o interruptor está fechado, uma corrente elétrica que é indicada por i (t). A carga do capacitor é indicada por q (t).

Pela segunda lei de Kirchhoff, a tensão produzida pelo Fuente e ao circuito fechado deve ser igual à soma de cada uma das quedas de tensão.

A corrente elétrica i (t) está relacionada à carga q (t) no capacitor através de i = dq/dt. Por outro lado, a queda de tensão em cada um dos elementos é definida da seguinte forma:

A queda de tensão em uma resistência é ir = r (dq/dt)

A queda de tensão em um indutor é l (di/dt) = L (d²Q/dt²)

A queda de tensão em um capacitor é Q/C

Com esses dados e aplicando a segunda lei de Kirchhoff ao circuito simples simples, é obtida uma equação diferencial de segunda ordem que descreve o sistema e nos permite determinar o valor de Q (t).

Exemplo

Um indutor, um capacitor e resistência estão conectados a uma bateria e, como mostrado na figura. O indutor é 2 Henries, o capacitor de 0,02 Farads e o 16 Onhmios Resistance. No momento t = 0 fecha o circuito. Encontre a carga e a corrente a qualquer momento t> 0 se E = 300 volts.

Temos que a equação diferencial que descreve este circuito é a seguinte:

Onde as condições iniciais estão q (0) = 0, i (0) = 0 = q '(0).

Aplicando a transformação de Laplace, conseguimos isso

E limpeza q (t)

Então, aplicando a transformação inversa de Laplace que temos

Referências

1. G.Holbrook, j. (1987). Transformação de Laplace para engenheiros eletrônicos. Limusa.
2. Ruiz, l. M., & Hernandez, M. P. (2006). Equações diferenciais e transformadas de Laplace com aplicações. Editorial da UPV.
3. Simmons, g. F. (1993). Equações diferenciais com aplicações históricas e notas. McGraw-Hill.
4. Spiegel, m. R. (1991). Laplace transformou. McGraw-Hill.
5. Zill, d. G., & Cullen, M. R. (2008). Equações diferenciais com valores de valores mobiliários na fronteira. Editores de aprendizado de Cengage, S.PARA.