Teorema de Moivre

Explicamos o que é o teorema de Moivre, demonstramos e propomos exercícios resolvidos

Qual é o teorema de Moivre?

Ele Teorema de Moivre Aplique processos de álgebra fundamentais, como extração de poderes e raízes em números complexos. O teorema foi declarado pelo renomado matemático francês Abraham de Moivre (1730), que associou os números complexos à trigonometria.

Abraham Moivre fez essa associação através das expressões da mama e do cosseno. Este matemático gerou um tipo de fórmula através da qual é possível.

Explicação

O teorema de Moivre estabelece o seguinte:

Se você tem um número complexo na forma polar z = r_Ɵ, onde r é o módulo do número complexo z e o ângulo ɵ é chamado de amplitude ou argumento de qualquer número complexo com 0 ≤ ɵ ≤ 2π, para calcular seu poder N-esse Twces; isto é, não é necessário fazer o seguinte produto:

Zⁿ = z _* z _* z_{*… *} z = r_{Ɵ *} r_{Ɵ *} r_{Ɵ *… *} r_Ɵ   N-you.

Para o Contario, o teorema diz que, ao escrever z em sua forma trigonométrica, para calcular o único poder, prossiga da seguinte forma:

Sim z = r (cos ɵ + i _* pecado ɵ) então zⁿ = rⁿ (cos n*ɵ + i _* sin n*ɵ).

Por exemplo, se n = 2, então z² = r²[cos 2 (ɵ) + i sen 2 (ɵ)]. Se você precisar n = 3, então z³ = z² _* z. Além do mais:

z³ = r²[cos 2 (ɵ) + i sen 2 (ɵ)] _* R [cos 2 (ɵ) + i sen 2 (ɵ)] = r³[cos 3 (ɵ) + i sen 3 (ɵ)].

Dessa maneira, as razões trigonométricas da mama e cosseno podem ser obtidas por múltiplos de um ângulo, desde que as razões trigonométricas do ângulo sejam conhecidas.

Da mesma forma, pode ser usado para encontrar expressões mais precisas e menos confusas para a raiz n -Esta de um número complexo z, de modo que Zⁿ = 1.

Para demonstrar o teorema de Moivre, o princípio de indução matemática é usado: se um número inteiro "A" tiver uma propriedade "P", e se para algum número inteiro "n" maior que "A" que tem a propriedade "P" se. + 1 também possui a propriedade "P", então todos os números inteiros maiores ou iguais que "a" têm a propriedade "P".

Demonstração do teorema de Moivre

Dessa forma, a demonstração do teorema é feita com as seguintes etapas:

Base indutiva

Primeiro, é verificado para n = 1.

Pode servir a você: Curtose: Definição, Tipos, Fórmulas, para que é, por exemplo,

Como z¹ = (r (cos ɵ + i _* sen ɵ))¹ = r¹ (Cos ɵ + i _* sen ɵ)¹ = r¹ [cos (1_* Ɵ) + eu _* Sen (1_* Ɵ)], tem que n = 1 o teorema é cumprido.

Hipótese indutiva

A fórmula deve ser verdadeira para algum número inteiro positivo, isto é, n = k.

z^k = (r (cos ɵ + i _* sen ɵ))^k  = r^k (cos k ɵ + i _* sin k ɵ).

Verificação

Está provado que é verdade para n = k + 1.

Como z^K+1= z^k _* Z, então z^K+1 = (r (cos ɵ + i _* sen ɵ))^K+1 = r^k (Porque kɵ + eu _* sin kɵ) _*  R (cos ɵ + i_* senɵ).

Então as expressões se multiplicam:

z^K+1 = r^K+1((cos kɵ)_*(cosɵ) + (cos kɵ)_*(Yo_*sinɵ) + (eu _* sin kɵ)_*(cosɵ) + (i _* sin kɵ)_*(Yo_* Senɵ)).

Por um momento o fator r é ignorado^K+1,  E você recebe o fator I comum:

(cos kɵ)_*(cosɵ) + i (cos kɵ)_*(Senɵ) + i (sen kɵ)_*(cosɵ) + eu²(Sen kɵ)_*(Senɵ).

Como eu² = -1, substituímos -o na expressão e obtemos:

(cos kɵ)_*(cosɵ) + i (cos kɵ)_*(Senɵ) + i (sen kɵ)_*(cosɵ) - (sin kɵ)_*(Senɵ).

Agora a parte real e imaginária é ordenada:

(cos kɵ)_*(cosɵ) - (sin kɵ)_*(sinɵ) + i [(sin kɵ)_*(cosɵ) + (cos kɵ)_*(Senɵ)].

Para simplificar a expressão, são aplicadas identidades trigonométricas de ângulos para cosseno e seio, que são:

cos (a+b) = cos a _* cos b - sen a _* pecado b.

sin (a+b) = sen a _* cos B -Cos a _* cos b.

Nesse caso, as variáveis ​​são os ângulos ɵ e kɵ. Aplicando identidades trigonométricas, você tem:

cos kɵ _* cosɵ -  sin kɵ _* sinɵ = cos (kɵ + ɵ)

sin kɵ _* cosɵ + cos kɵ _* sinɵ = sin (kɵ + ɵ)

Dessa forma, a expressão permanece:

z^K+1 = r^K+1 (cos (kɵ + ɵ) + i _* pecado (kɵ + ɵ))

z^K+1 = r^K+1(cos [(k +1) ɵ] + i i _* sin [(k +1) ɵ]).

Assim, pode -se demonstrar que o resultado é verdadeiro para n = k+1. Pelo princípio da indução matemática, conclui -se que o resultado é verdadeiro para todos os números inteiros positivos; isto é, n ≥ 1.

Todo negativo

O teorema de Moivre também é aplicado quando n ≤ 0. Vamos considerar um todo negativo "n"; Então "n" pode ser escrito como "-m", isso é n = -m, sendo "m" um número inteiro positivo. Portanto:

(Cos ɵ + i _* sen ɵ)ⁿ = (cos ɵ + i _* sen ɵ) ^-m

Para obter o expoente "M" de uma maneira positiva, a expressão é escrita no contrário:

(Cos ɵ + i _* sen ɵ)ⁿ = 1 ÷ (cos ɵ + i _* sen ɵ) ^m

Pode servir a você: ângulo nulo: definição e características, exemplos, exercícios

(Cos ɵ + i _* sen ɵ)ⁿ = 1 ÷ (cos mɵ + i _* sin mɵ)

Agora, é usado que se z = a+b*i é um número complexo, então 1 ÷ z = a-b*i. Portanto:

(Cos ɵ + i _* sen ɵ)ⁿ = cos (mɵ) - i _* Sen (Mɵ).

Usando esse cos (x) = cos (-x) e que -sen (x) = sen (-x), ele precisa:

(Cos ɵ + i _* sen ɵ)ⁿ = [cos (mɵ) - i _* pecado (mɵ)]

(Cos ɵ + i _* sen ɵ)ⁿ = cos (- mɵ) + i _* Sen (-mɵ)

(Cos ɵ + i _* sen ɵ)ⁿ = cos (nɵ) - i _* pecado (nɵ).

Dessa forma, pode -se dizer que o teorema se aplica a todos os valores inteiros de "n".

Exercícios resolvidos

Cálculo de potência positiva

Uma das operações com números complexos em sua forma polar é a multiplicação entre dois deles; Nesse caso, os módulos se multiplicam e os argumentos são adicionados.

Se você tem dois número complexo z₁ e z₂ E você quer calcular (z z₁*z₂)², Em seguida, prossiga o seguinte:

z₁z₂ = [r₁ (cos ɵ₁ + Yo _* sen ɵ₁)] * [R₂ (cos ɵ₂ + Yo _* sen ɵ₂)]

A propriedade distributiva é aplicada:

z₁z₂ = r₁ r₂ (cos ɵ_1* cos ɵ₂ + Yo _* cos ɵ_1* Yo _* sen ɵ₂ + Yo _* sen ɵ_1* cos ɵ₂ + Yo²_* sen ɵ_1* sen ɵ₂).

Eles são agrupados, desenhando o termo "I" como um fator comum de expressões:

z₁z₂ = r₁ r₂ [cos ɵ_1* cos ɵ₂ + Eu (porque ɵ_1* sen ɵ₂ + sen ɵ_1* cos ɵ₂) + i²_* sen ɵ_1* sen ɵ₂]

Como eu² = -1, é substituído na expressão:

z₁z₂ = r₁ r₂ [cos ɵ_1* cos ɵ₂ + Eu (porque ɵ_1* sen ɵ₂ + sen ɵ_1* cos ɵ₂) - sen ɵ_1* sen ɵ₂]

Os termos reais com real e imaginário com imaginário são reagrupados:

z₁z₂ = r₁ r₂ [(cos ɵ_1* cos ɵ₂ - sen ɵ_1* sen ɵ₂) + i (cos ɵ_1* sen ɵ₂ + sen ɵ_1* cos ɵ₂)]

Finalmente, são aplicadas propriedades trigonométricas:

z₁z₂ = r₁ r₂ [cos (ɵ₁ + Ɵ₂) + eu sen (ɵ₁ + Ɵ₂)].

Em conclusão:

(Z₁*z₂)²= (r₁ r₂ [cos (ɵ₁ + Ɵ₂) + eu sen (ɵ₁ + Ɵ₂)])²

= R₁²r₂²[cos 2*(ɵ₁ + Ɵ₂) + Sin 2*(ɵ₁ + Ɵ₂)].

Exercício 1

Escreva o número complexo em forma polar se z = - 2 -2i. Então, usando o teorema de Moivre, calcule Z⁴.

Solução

O número complexo z = -2 -2i é expresso na forma retangular z = a +bi, onde:

A = -2.

B = -2.

Saber que a forma polar é z = r (cos ɵ + i _* sen ɵ), é necessário determinar o valor do módulo "r" e o valor do argumento "ɵ". Como r = √ (a²+b²), os valores fornecidos são substituídos:

Pode atendê -lo: funções trigonométricas: básico, no avião cartesiano, exemplos, exercícios

R = √ (a²+b²) = √ ((-2) ²+(-2) ²)

= √ (4+4)

= √ (8)

= √ (4*2)

= 2√2.

Então, para determinar o valor de "ɵ", a forma retangular disso é aplicada, que é dada pela fórmula:

então ɵ = b ÷ a

Tan ɵ = (-2) ÷ (-2) = 1.

Como o (ɵ) = 1 e tem que<0, entonces se tiene que:

Ɵ = Arcan (1) +π.

= Π/4 +π

= 5π/4.

Como já alcançado pelo valor de "R" e "ɵ", o número complexo z = -2 -2i pode ser expresso na forma polar que substitui os valores:

Z = 2√2 (cos (5π/4)+ i _* sin (5π/4)).

Agora o teorema de Moivre é usado para calcular Z⁴:

z⁴= 2√2 (cos (5π/4)+ i _* sin (5π/4))⁴

= 32 (cos (5π)+ i _* sin (5π)).

Exercício 2

Encontre o produto de números complexos que o expressa em sua forma polar:

Z1 = 4 (cos 50^qualquer + Yo_* Sen 50^qualquer)

Z2 = 7 (cos 100^qualquer + Yo_* Sen 100^qualquer).

Em seguida, calcule (z1*z2) ².

Solução

Primeiro, o produto dos números fornecidos é formado:

z₁ z₂ = [4 (cos 50^qualquer + Yo_* Sen 50^qualquer)] * [7 (cos 100^qualquer + Yo_* Sen 100^qualquer)]

Em seguida, os módulos se multiplicam e os argumentos são adicionados:

z₁ z₂ = (4 _* 7)_* [COS (50^qualquer + 100^qualquer) + i_* Sen (50^qualquer + 100^qualquer)]

A expressão é simplificada:

z₁ z₂ = 28 _* (Cos 150^qualquer + (Yo_* Sen 150^qualquer).

Finalmente, o teorema de Moivre se aplica:

(Z1*z2) ² = (28 _* (Cos 150^qualquer + (Yo_* Sen 150^qualquer)) ² = 784 (cos 300^qualquer + (Yo_* Sen 300^qualquer).

Cálculo de poderes negativos

Para dividir dois números complexos z₁ e z₂ Em sua forma polar, o módulo é dividido e os argumentos são subtraídos. Assim, o quociente é z₁ ÷ z₂ E é expresso o seguinte:

z₁ ÷ z₂ = R1/R2 ([cos (ɵ₁- Ɵ₂) + eu sen (ɵ₁ - Ɵ₂)]).

Como no caso anterior, se você deseja calcular (z1 ÷ z2) ³ a divisão é os primeiros efeitos e o teorema de moivre é usado.

Exercício 3

Dices:

Z1 = 12 (cos (3π/4) + i*sin (3π/4)),

Z2 = 4 (cos (π/4) + i*sin (π/4)),

Calcule (Z1 ÷ Z2) ³.

Solução

Seguindo as etapas descritas acima, pode -se concluir que:

(Z1 ÷ Z2) ³ = ((12/4) (cos (3π/4 - π/4) + i*sin (3π/4 - π/4)) ³

= (3 (cos (π/2) + i*sin (π/2)) ³

= 27 (cos (3π/2) + i*sin (3π/2)).

Referências

1. Arthur Goodman, L. H. ( mil novecentos e noventa e seis). Álgebra e trigonometria com geometria analítica. Pearson Education.
2. Croucher, m. (s.F.). Pelo teorema de Moivre para identidades de trigos. Projeto de demonstrações de Wolfram.
3. Hazewinkel, m. (2001). Enciclopédia de Matemática.
4. Max Peters, W. eu. (1972). Álgebra e trigonometria.
5. Pérez, c. D. (2010). Pearson Education.
6. Stanley, g. (s.F.). Álgebra Linear. Graw-Hill.
7. , M. (1997). Pré -qualculus. Pearson Education.