Soma algébrica

Exemplos de somas algébricas

Qual é a soma algébrica?

O Soma algébrica Consiste em reunir várias quantidades, que podem ter sinais diferentes, em uma única quantidade resultante, chamada adição ou simplesmente, soma.

Cada adição é chamado prazo, Portanto, uma soma algébrica consiste em dois ou mais termos, que podem ser agrupados com parênteses, colchetes e chaves, os conhecidos símbolos de grupo.

Esta soma pode ser realizada com números reais, com expressões algébricas ou com uma combinação de ambos. Vetores também podem ser adicionados.

Por exemplo, a seguir é uma soma algébrica com números inteiros e símbolos de grupo:

2 + [- 10 + (−4 + 11- 17)]

E este envolve expressões algébricas e números reais:

4x² - 4xy + (2/5) x² - 12xy + 16

Posteriormente, a solução dessas quantias é mostrada em detalhes (exemplos resolvidos 6 e 14), mas primeiro é conveniente revisar as técnicas e propriedades aplicáveis ​​em sua resolução.

Como resolver somas algébricas?

A primeira coisa que deve ser levada em consideração para realizar a soma algébrica é a lei ou a regra de sinais:

• Se você deseja adicionar valores com o mesmo sinal, os valores absolutos são adicionados e o resultado carrega o sinal dos valores.
• Ao adicionar quantidades de sinal diferente, valores absolutos são subtraídos e o resultado é colocado o sinal do valor mais absoluto.
• Ao multiplicar ou dividir dois números do mesmo sinal, o resultado é sempre positivo.
• E se você deseja multiplicar ou dividir dois números com sinais diferentes, o resultado é negativo.

Como lembrete, o valor absoluto de qualquer quantidade x, seja numérico ou algébrico, é indicado por │x│ e é calculado da seguinte forma:

• │x│ = x, se x> 0
• │x│ = −x, se x < 0

Por exemplo:

│3│ = 3

│ - 5│ = - (−5) = 5

Hierarquia de operações

Os símbolos de grupo acima mencionados podem aparecer em uma soma algébrica, ou é uma operação mais complexa na qual eles aparecem, além da soma, uma multiplicação, divisão, expoente ou raiz.

Então, antes de realizar a soma, devemos recorrer à hierarquia das operações, para saber a ordem que deve ser tomada durante a resolução:

1.- Primeiro elimina os sinais de agrupamento, começando com os mais internos.

2.- Resolver expoentes ou raízes, se houver.

3.- Realizar multiplicações ou divisões, caso a operação inclua algumas, sempre de acordo com a regra dos sinais enunciados acima.

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4.- Uma vez feito isso, as somas algébricas são resolvidas, seguindo as diretrizes fornecidas pela regra de sinais.

Caso existam várias operações da mesma hierarquia, ela começa a resolver da esquerda para a direita.

Importante: Cada parêntese precedido pelo sinal +, escrito como explícito ou não, pode ser suprimido sem afetar o sinal de conteúdo. Mas se o parêntese for precedido por um sinal -então os sinais da mudança de conteúdo.

Por exemplo:

• ( - 5 + 8 - 13) = - 5 + 8 -13
• -(4 + 25 - 76 -1) = - 4 - 25 + 76 +1

Propriedades da soma algébrica

1.- Propriedade comutativa: a ordem dos Adicionadores não altera a soma. Isto é: a + b = b + a.

2.- Propriedade Associativa: Se a operação consistir em mais de dois termos, os dois primeiros poderão ser associados, obtendo seu resultado, adicionando -o ao seguinte e assim por diante. Portanto:

(A + b) + c = a + (b + c)

3.- Elemento neutro de adição: é 0, então: a + 0 = a

4.- Oposto: dada a quantidade "a", seu oposto é "-a", para cumprir isso: a + (-a) = 0

5.- Quando você tem uma expressão mista, que consiste em números e termos algébricos, apenas aqueles que são semelhantes e a soma dos termos não semelhantes são adicionados.

Os termos semelhantes são aqueles cuja parte literal é idêntica, embora possam diferir no coeficiente. Por exemplo:

1 + x² - 4x² - 7 = (1-7) + (x² - 4x²) = - 6 - 3x²

Os termos x² e 4x² Eles são semelhantes, pois têm a mesma letra e expoente. Observe que os números são adicionados além das expressões literais (com letras) e o resultado é indicado.

Resumo das principais propriedades da soma. Fonte: f. Zapata

Exemplos

Soma algébrica de números inteiros

Existem várias estratégias, aplicando as regras dos sinais e as propriedades descritas acima. Por exemplo, quantidades positivas e negativas podem ser adicionadas e subtrair os respectivos resultados.

1) 7− 8 + 4 - 10 - 25 + 4 = (7 + 4 + 4) + ( - 8 −10 - 25) = 15 + (−43) = - 28

2) −15 + 7 - 13 - 34 + 18 −24−26 = (7 + 18) + (−15 - 13 - 34 - 24 - 26) = 25 + (−112) = - 87

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3) [83 + (-99)] + 18 = -16 + 18 = 2

4) 21 - 3 - 7 + 20 + 9 - 10 + 15 - 25 + 10 = (21 + 20 + 9 + 15 + 10) + ( - 3 - 7- 10 - 25) = 75 - 45 = 30

No exercício a seguir, deve -se ter em mente que um sinal de grupo precedido por um sinal menos, altere o conteúdo:

5) 9 - [3 - (-9 + 8 + 21)] - 27 = 9 - [3 + 9 - 8 -21] - 27 = 9 - 3 - 9 + 8 + 21 - 27 = (9 + 8 + 21) + ( - 3 - 9 - 27) = 38 - 39 = - 1

6) 2 + [ - 10 + (−4 + 11 - 17)] = 2 + [ - 10 - 4 + 11 - 17] = 2 + [11+ ( - 10 - 4 - 17)] = 2 + [11+ ( - 31)] = 2 +( - 20) = - 18

7) Imperador romano Augusto começou seu reinado em - 27.C e governou até sua morte, por 41 anos. O ano encerrado pelo reinado de Augusto foi:

- 27 + 41 = 14 d.C.

8) O elevador de um edifício está localizado no segundo porão, sobe sete andares, desce quatro, 15 e baixa 6. Que piso é o elevador?

Primeiro, os sinais são atribuídos: o nível 0 ao nível da rua, quando o elevador sobe uma certa quantidade de pisos é considerada uma quantidade positiva e, quando desce, é negativo:

−2 + 7 - 4 + 15 - 6 = (7 + 15) + (−2− 4− 6) = 22 - 12 = +10

O elevador está no décimo andar.

Soma algébrica de números reais

Os números reais incluem números naturais, racionais e irracionais:

9) 4-3⅚-√2 + 6√2 + ½ + 11 = (4 + 11) + (½-3⅚) + (6√2− √2) = 15 + (-10/3) + 5√2 = 35 /3 + 5√2

10) 3 - 5.5 + (-8.7) = 3 - 5.5 - 8.7 = −11.2

Soma de monômios e polinômios

Os monômios contêm uma parte literal com seu respectivo expoente, que é um número inteiro maior que 1, e um coeficiente numérico pertencente ao conjunto de números reais. A parte literal pode consistir em uma ou mais letras.

As expressões: -3x², √5 ∙ x³ e 8x²e³ São exemplos de monômios. Em vez disso, eles não são monômios: 2x^-3 e 7√x.

As somas algébricas entre monômios só podem ser executadas quando os monômios são semelhantes, neste caso, o resultado é outro monômio. Este procedimento também é chamado redução monomial:

onze) (3/2) ∙ x³Y + 2 ∙ x³y = (7/2) ∙ x³e

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Se os monômios não forem semelhantes, a soma é indicada e resulta em um polinômio:

12) 1 + 6x - 5x² = 1 + 6x - 5x²

13) (√3 · x⁸ + 4x) + (5x⁸  + 3x) ​​= (√3 · x⁸ + 5x⁸ ) + (4x + 3x) = (√3 + 5) ⋅x⁸ + 7x

Se termos semelhantes aparecerem em uma soma, eles podem ser reduzidos:

14) 4x² - 4xy + (2/5) x² - 12xy + 16 = (4x²  + (2/5) x² )+ ( - 4xy - 12xy)+ 16 = (22/5) x² - 16xy + 16

quinze) 3x²  +  5x - 2x² - 9x = (3x² - 2x²)+ (5x - 9x) = x² - 4x

16) 5x³ -7x + 2x - 9x² + 2x³ - 5x² = (5x³ +2x³) + (- 9x² - 5x² ) + (-7x + 2x) = 7x³- 14x² - 5x

A soma dos polinômios pode ser realizada horizontalmente, como nos exemplos anteriores, ou verticalmente. O resultado é o mesmo nos dois casos.

17) Adicione os polinômios de duas maneiras:

• 5x² + 7y - 6z²
• 4y + 3x²
• 9x² + 2z² - 9y
• 2y - 2x²

Horizontalmente:

(5x² + 7y - 6z²) + (4y + 3x²) + (9x² + 2z² - 9y) + (2y - 2x²) = (5x² + 3x² + 9x² - 2x²) + ( - 6z² + 2z²) + (7y + 4y - 9y + 2y) = 15x² - 4z² + 4y

Verticalmente:

+ 5x² + 7y - 6z²
+ 3x² + 4y
+ 9x² - 9y + 2z²
−2x² + 2y
_______________________
+ 15x² + 4y - 4z²

18) (1/2 x² + 4) + (3/2 x² + 5) + (x² + 2) = (1/2 x² + 3/2 x² + x²) + (4 + 5 + 2) =

19) (3x² - 5x +1) + (x² −7x - 3) = (3x² + x²) + ( - 5x −7x) + (1 - 3) = 4x² -12x - 2

vinte) Faça a soma dos polinômios:

• P (x) = 3x⁴ + 3x² - 5x + 7
• Q (x) = 2x⁵ - x⁴ + x³ - 2x² + X - 3
• R (x) = - 3x⁵ + 2x⁴ + 2x³ - 4x - 5

Usando o método vertical, os polinômios são concluídos com a ajuda dos termos do formulário 0xⁿ  E passamos a adicionar termos semelhantes:

0x⁵ + 3x⁴ + 0x³ + 3x² - 5x + 7
2x⁵ - x⁴  +  x³  - 2x² +  x - 3
-3x⁵ +2x⁴ + 2x³ + 0x² - 4x - 5
_______________________________
- x⁵ +  4x⁴ + 3x³  + x²  - 8x - 1