Revolução Volume de sólidos, tipos, exercícios resolvidos

Ele Revolução sólida É a figura tridimensional que é gerada pela rotação de uma superfície plana ao redor do eixo axial ou eixo da revolução. A Figura 1 mostra uma animação de um sólido de revolução gerado dessa maneira.

Outro exemplo muito fácil de visualizar é gerar um cilindro circular reto, girando um retângulo de altura ou H e Radio R, em torno do eixo x positivo (Figura 2). Para encontrar seu volume, há uma fórmula bem conhecida:

V = área base x altura

figura 1. A figura gerada pela rotação de uma curva sen x. Fonte: Wikimedia Commons. Macks/CC BY-SA (https: // CreativeCommons.Org/licenças/BY-SA/2.5).

Outros sólidos da revolução são a esfera, o cone circular reto e várias figuras, de acordo com a superfície colocada em rotação e, claro, o eixo selecionado.

Figura 2. Geração de um cilindro circular reto e uma esfera. Fonte: Wikimedia Commons.

Por exemplo, girando o semicírculo em torno de uma linha paralela ao diâmetro Um sólido de revolução oca é obtida.

Para o cilindro, o cone, a esfera, massifs e buracos, existem fórmulas para encontrar o volume, que depende do raio e da altura. Mas quando gerado por outras superfícies, o volume é calculado por integrais definidos.

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Tipos de sólidos de revolução

Os sólidos da revolução podem ser classificados de acordo com a curva que os gera:

Esfera

Basta girar um semicírculo em torno de um eixo que será o diâmetro da esfera da Radio R. Seu volume é:

V_esfera = (4/3) πr³

Bichano

Para obter um cone H e Radio R, a superfície que deve. Seu volume é:

V_Bichano = (1/3) πhr²

Cilindro

Girando um retângulo em torno de um eixo axial que passa por um lados, que pode ser o lado curto ou o lado longo, é obtido um cilindro circular reto de raio r e altura h, cujo volume é:

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V_cilindro = πr²H

Toroid

O touro tem a forma de um donut. É obtido girando uma região circular em torno de uma linha no avião que não cruza o círculo. Seu volume é dado por:

V_Toroid = 2πa²R

Onde a é o raio da seção transversal e r é o raio do toróide de acordo com o esquema apresentado na figura:

Figura 3. Dimensões de toróides. Fonte: Wikimedia Commons.

Métodos para calcular o volume de uma revolução sólida

No cálculo integral, esses dois métodos são frequentes:

-Discos e arruelas

-Cartuchos

Método de disco ou arruelas

Quando fatie um sólido de revolução, a seção transversal pode ser um álbum, se o sólido for sólido ou pode ser uma espécie de lavadora (um álbum com um buraco no meio), se for um buraco sólido.

Suponha que uma região plana seja girada ao redor do eixo horizontal. A partir daquela região plana, tomamos um pequeno retângulo de largura Δx, que é girada perpendicularmente ao redor do eixo axial.

A altura do retângulo está entre a curva mais externa R (x) e o R (X) mais interno. Eles correspondem ao raio externo e ao rádio interno, respectivamente.

Ao fazer essa rotação, uma arruela de volume ΔV é gerada, dada por:

ΔV = volume completo - volume de orifício (se houver)

Lembrando que o volume de um cilindro circular reto é π. rádio² x altura, temos:

ΔV = π [r²(x) - r²(x)] Δx

O sólido pode ser dividido em uma infinidade de pequenas porções de volume ΔV. Se adicionarmos todos eles, teremos o volume completo.

Para fazer isso, teremos o volume ΔV, que também se torna muito pequeno, tornando -se um diferencial DX.

Pode atendê -lo: eventos mutuamente não exclusivos: propriedades e exemplos

Assim, temos uma integral:

V = ∫_para^b π [r²(x) - r²(x)] DX

Figura 3. Método das lavadoras. Fonte: Larson. R. Cálculo.

No caso de o sólido ser sólido, a função r (x) = 0, a fatia do sólido gerado é um disco e o volume permanece:

V = ∫_para^b πr²(x) DX

Quando o eixo da revolução é vertical, as equações anteriores assumem o formulário:

V = ∫_para^b π [r² (Y) - r² (y)] dy e v = ∫_para^b πr²(Y) dy

Camada

Como o nome aponta, esse método é assumir que o sólido é composto por camadas espessas diferenciais. A camada é um tubo fino que se origina da virada de um retângulo em paralelo ao eixo de rotação.

Figura 4. Uma camada cilíndrica de altura 2, longa h e raio p. Fonte: Larson, R. Cálculo.

Temos as seguintes dimensões:

-A altura do retângulo C

-Sua longitude h

-A distância do centro do retângulo ao eixo de rotação p

Sabendo que o volume da camada é Volume ao ar livre - volume interior:

π (p + w/2)²H - π (P - W/2)²h

Ao desenvolver produtos notáveis ​​e simplificar, é obtido:

Volume da camada = 2π⋅p⋅widroh

Agora vamos fazer a altura do retângulo Δy, como visto na figura a seguir:

Figura 5. Método Horizontal Revolution Exis Cayers. Fonte: Larson, R. Cálculo de uma variável.

Com isso, o volume ΔV é:

ΔV = 2π p x h x Δy

E fazendo o número de camadas n Seja muito grande, Δy se torna um DY diferencial, de modo que o volume total é a integral:

V = ∫_c^d 2π p (y) h (y) dy

O procedimento descrito é aplicado da mesma forma quando o eixo da revolução é vertical:

Figura 6. Método da camada para eixo de revolução vertical. Fonte: Larson, R. Cálculo de uma variável.

Exercício resolvido

Encontre o volume gerado pela rotação da região plana entre as curvas:

y = x²;  y = 0; x = 2

Ao redor do eixo e.

Pode atendê -lo: homotecia negativa

Solução

-A primeira coisa a fazer é representar o gráfico da região que gerará a revolução sólida e apontará o eixo de volta. Temos no gráfico seguinte:

Figura 7. Gráfico das curvas para o exercício resolvido. Fonte: f. Zapata com geogebra.

-Agora as interseções entre a curva y = x são procuradas² e a linha x = 2. Por sua parte, a linha y = 0 não é outra senão o eixo x.

É fácil avisar que a parábola e a linha se cruzam no ponto (2,4), que é corroborado substituindo x = 2 em y = x².

-Em seguida, um dos métodos para calcular o volume é escolhido, por exemplo, o método da camada com eixo de revolução vertical:

V = ∫_para^b 2π p (x) h (x) dx

Etapa 1: desenhe o retângulo

Figura 8. Retângulo para o exemplo resolvido. Fonte: f. Zapata com geogebra.

Importante: No método da camada, o lado longo do retângulo é paralelo ao eixo de rotação.

Etapa 2: determinar p (x)

A camada da camada é x

Etapa 3: determinar H (x)

A altura do retângulo é determinada por parábola x².

Etapa 4: estabeleça e resolva a integral do volume

A variável de integração é x, que varia entre 0 e 2, com isso, temos os limites de integração. Substituindo expressões para p (x) e h (x)

 Alguns exercícios podem ser resolvidos por ambos os métodos. O leitor pode resolver isso com o método das lavadoras?

Referências

1. Larson, r. 2010. Cálculo de uma variável. 9NA. Edição. McGraw Hill.
2. Purcell, e. 2007. Cálculo com geometria analítica. 9NA. Edição. Pearson Education.
3. Wikipedia. Sólido de revolução. Recuperado de: em.Wikipedia.org.
4. Wikipedia. Toroid. Recuperado de: é.Wikipedia.org.
5. Wolfram Mathworld. Sólido de revolução. Recuperado de: Mathworld.Volfrâmio.com.