Ondas unidimensionais Expressão e exemplos matemáticos

As Ondas unidimensionais Eles são os que se propagam em uma direção, independentemente de a vibração ocorrer ou não na mesma direção de propagação. Um bom exemplo deles é a onda que se move ao longo de uma corda tensa como a de uma guitarra.

Em uma onda plana cruzar, As partículas vibram verticalmente (elas escalam e descem, veem a seta vermelha na Figura 1), mas é uma dimensão porque o distúrbio viaja em uma direção, seguindo a seta amarela.

Figura 1: A imagem representa uma onda unidimensional. Observe que cumes e vales formam linhas paralelas entre si e perpendiculares à direção da propagação. Fonte: Self feito.

Ondas unidimensionais aparecem com bastante frequência na vida cotidiana. A seção a seguir descreve alguns exemplos deles e também de ondas que não são unidimensionais, para estabelecer claramente as diferenças.

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Exemplos de ondas unidimensionais e ondas não -unidimensionais

Ondas unidimensionais

Estes são alguns exemplos de ondas dimensionais que podem ser facilmente observadas:

- Um pulso de som que viaja por um bar reto, pois é um distúrbio que se espalha por todo o bar.

- Uma onda que viaja através de um canal de água, mesmo quando o deslocamento da superfície da água não é paralelo ao canal.

- As ondas que se espalham em uma superfície ou pelo espaço tridimensional também podem ser uma dimensional, desde que suas frentes de onda sejam aviões paralelas entre si e viajam em uma direção.

Ondas nãodimensionais

Um exemplo de uma onda não dimensional é encontrada nas ondas que são formadas em uma superfície de água parada quando uma pedra é descartada. É uma frente de onda bidimensional da onda cilíndrica.

Pode atendê -lo: alavanca de braçoFigura 2. A imagem representa um exemplo do que não é uma onda unidimensional. Observe que os cumes e vales formam círculos e a direção da propagação é radial para fora, é então uma onda circular bilimensional. Fonte: Pixabay.

Outro exemplo de onda dimensional não união é a onda sonora que gera um foguete por explosão em uma certa altura. Esta é uma onda tridimensional com frentes de ondas esféricas.

Expressão matemática de uma onda unidimensional

A maneira mais geral de expressar uma onda unidimensional que se espalha sem atenuação na direção positiva do eixo x e com velocidade v É matematicamente:

e (x, t) = f (x - v.t)

Nesta expressão e representa o distúrbio na posição x no momento t. A forma de onda é dada pela função F. Por exemplo, a função de onda mostrada na Figura 1 é:  e (x, t) = cos (x - v t) e a imagem da onda corresponde ao momento t = 0.

Uma onda como essa, descrita por uma função cosseno ou sinusal, é chamada onda harmônica. Embora não seja a única forma de onda que existe, é de extrema importância, porque qualquer outra onda pode ser representada como uma sobreposição ou soma de ondas harmônicas. É o conhecido Teorema de Fourier, tão usado para descrever sinais de todos os tipos.

Quando a onda viaja na direção negativa do eixo x, simplesmente muda v por -v Em argumento, sendo:

e (x, t) = g (x + v t)

A Figura 3 mostra a animação de uma onda que viaja para a esquerda: é uma forma chamada função Lorentziana e ela A expressão matemática é:

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e (x, t) = 1 / (1 + (x + 1⋅t)²

Neste exemplo, a velocidade da propagação é v = 1, -uma unidade de espaço para cada unidade de tempo-.

Figura 3. Exemplo de uma onda lorentziana que viaja para a esquerda rapidamente v = 1. Fonte: preparado por f. Zapata com geogebra.

Equação de onda unidimensional

A equação de ondas é uma equação em derivados parciais, cuja solução é obviamente uma onda. Estabelece a relação matemática entre a parte espacial e sua parte temporal e tem a forma:

A solução, que é precisamente a função y (x, t), pode ser verificada por substituição e desenvolvimento nesta equação. Por exemplo, funções f (x - v t)  e  G (x + vt)  mencionado, eles são soluções de equação de ondas.

Exemplo resolvido

Então você tem a expressão geral y (x, t) para uma onda harmônica:

e (x, t) = a⋅cos (k⋅x ± Ω⋅t + θo)

a) Descreva o significado físico dos parâmetros A, K, ω e θo.

b) Que significado tem os sinais ± no argumento do cosseno?

c) Verifique se a expressão dada é de fato a solução da equação da onda da seção anterior e encontre a velocidade v de propagação.

Solução para)

Os recursos da onda estão nos seguintes parâmetros:

-PARA representa o amplitude ou "altura da onda".

-k está dentro Número da onda E está relacionado ao comprimento de onda λ através K = 2π/ λ.

-Ω É fexpansão angular E está relacionado ao período T oscilação da onda por

Ω = 2π/ t.

-θo É o fase inicial, que está relacionado ao ponto de partida da onda.

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Solução b)

O sinal negativo é levado se a onda viajar na direção positiva do eixo x e sinal positivo de outra forma.

Solução c)

Verifique se a expressão fornecida é uma solução para a equação da onda é simples: a derivada parcial da função é tomada e (x, t) Em relação a X duas vezes, é parcialmente derivado de t duas vezes e, em seguida, ambos os resultados se reúnem para obter a igualdade:

Segundo derivado de x: ∂²e/ ∂x²= -K². PARA⋅cos (k⋅x ± Ω⋅t + θo)

Segundo derivado de t: ∂²e/ ∂t²= -Ω². PARA⋅cos (k⋅x ± Ω⋅t + θo)

Esses resultados são substituídos na equação de ondas:

 -k². PARA⋅cos (k⋅x ± Ω⋅t + θo) = (1/v²) (-Ω². PARA⋅cos (k⋅x ± Ω⋅t + θo))

Muito PARA Como o cosseno é simplificado, pois eles aparecem em ambos os lados da igualdade e o argumento do cosseno é o mesmo, portanto a expressão é reduzida a:

-k² = (1/v²) (-Ω²)

Que permite obter uma equação para v em termos de Ω e k:

v² = Ω² / k²

v = ± Ω / k

Referências

1. E-edcional. Equação de ondas harmônicas unidimensionais. Recuperado de: e-ducativo.Cathedu.é
2. O rincón da física. Classes de ondas. Recuperado de: física.Blogspot.com.
3. Figueroa, d. 2006. Ondas e física quântica. Série: Física para Ciência e Engenharia. Editado por Douglas Figueroa. Universidade de Simon Bolivar. Caracas Venezuela.
4. Laboratório de Física. Movimento ondulatório. Recuperado de: fisicalab.com.
5. Peirce, a. Palestra 21: A equação de onda unidimensional: solução de D'Alembert. Recuperado de: UBC.AC.
6. Equação de onda. Recuperado de: em.Wikipedia.com