Amigos ou exemplos amigáveis ​​e como encontrá -los

O Amigos ou números amigáveis Existem dois números naturais A e B cuja soma dos divisores de um deles (sem incluir o número) é igual ao outro número, e a soma dos divisores desse outro (também não inclui) é igual ao primeiro emitir.

Muitos casais de números que compartilham esta propriedade curiosa foram encontrados. Eles não são números muito pequenos, os menores são 220 e 284, descobertos há vários séculos. Então, vamos dar a eles como um exemplo do que essa amizade peculiar entre números significa.

figura 1. O casal de amigos 220 e 284 já era conhecido por séculos. Fonte: Pixabay.

Os divisores de 220, sem incluir 220, são: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 e 110. Por outro lado, os divisores de 284, sem incluir 284 são: 1, 2, 4, 71 e 142.

Agora adicionamos os divisores da primeira edição, que é 220:

D₁ = 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110 = 284

Observamos que, na verdade, a soma é 284, o amigo numérico.

Então os divisores de 284 são adicionados:

D₂ = 1+2+4+71+142 = 220

E o primeiro membro do casal é obtido.

Os antigos matemáticos gregos da Escola Pitagórica, fundada por Pitágoras (569-475 para.C.), O autor do famoso teorema do mesmo nome, conseguiu descobrir essa relação peculiar entre esses dois números, aos quais muitas qualidades místicas atribuíram.

Eles também eram conhecidos pelos matemáticos islâmicos da Idade Média, que conseguiram determinar uma fórmula geral para encontrar amigos sobre os anos 850 da nossa época.

[TOC]

Fórmula para encontrar amigos

O matemático islâmico Thabit Ibn Qurra (826-901) encontrou uma maneira de gerar alguns números de amigos. Sean p, q e r Três números primos, isto é, números que só admitem 1 e eles mesmos como divisores.

Ao cumprir o seguinte:

P = 3.2^N-1 - 1

Q = 3.2ⁿ - 1

Pode servir você: corolário (geometria)

R = 9.2^2n-1 - 1

Com n um número maior que 1, então:

A = 2ⁿPQ e B = 2ⁿr 

Inventar alguns amigos. Vamos experimentar a fórmula para n = 2 e ver quais números de dois amigos geram:

P = 3.2^2-1 - 1 = 3. 2 - 1 = 5

Q = 3.2² - 1 = 11

R = 9.2^2.2-1 - 1 = 71

Então:

A = 2ⁿPQ = 2². 5. 11 = 220

b = 2ⁿR = 2². 71 = 284

A fórmula da matemática medieval.

No entanto, o teorema não funciona para todos os amigos encontrados até agora, apenas para n = 2, n = 4 e n = 7.

Séculos depois, o matemático suíço Leonhard Euler (1707-1783) deduziram uma nova regra para encontrar números amistosos, com base no de Thabit ibn Qurra:

P = (2^N-m + 1). 2^m - 1

Q = (2^N-m + 1). 2ⁿ - 1

R = (2^N-m + 1)². 2^M+n  - 1

Como sempre, os números P, Q e R são primos, mas agora existem dois expoentes inteiros: M e N, dos quais M deve atender à seguinte condição:

1 ≤ m ≤ n-1

O casal de amigos é formado da mesma maneira:

A = 2ⁿpq 

b = 2ⁿr 

Se m = n-1 for obtido novamente o teorema de Thabit, mas como é o caso do teorema do matemático islâmico, nem todos os números amigáveis ​​satisfazem a regra de Euler. No entanto, com ele a quantidade de números amigáveis ​​conhecidos até então aumentou.

Aqui estão os primeiros pares de expoentes (m, n) para encontrar alguns números amigáveis:

(1,2), (3,4), (6,7), (1.8) e (29,40)

Mais tarde, na seção de exercícios, encontraremos os dois números amigáveis ​​que se formam graças aos expoentes (3,4) da regra de Euler.

Exemplos de números de amigos

-220 e 284

Pode servir a você: experimento aleatório: conceito, espaço de amostra, exemplos

-1184 e 1210

-2620 e 2924

-5020 e 5564

-6232 e 6368

-10.744 e 10.856

-12.285 e 14.595

-17.296 e 18.416

Obviamente, muitos outros casais de números amigáveis ​​podem ser gerados pelo computador.

Como quebrar um número e encontrar seus divisores

Vamos ver agora como encontrar os divisores de um número, para corroborar se forem amigos. De acordo com a definição de números amigáveis, todos os divisores de cada participante são necessários para poder adicioná -los, exceto os próprios números.

Agora, os números naturais podem ser divididos em dois grupos: números primos e números compostos.

Números primos só admitem como divisores exatos para 1 e eles mesmos. E os números compostos por sua parte, sempre podem ser expressos como o produto de números primos e têm outros divisores, além de 1 e de si mesmos.

Um número de qualquer composto, como 220 ou 284, pode ser expresso dessa maneira:

N = aⁿ . b^m. c^p… R^k

Onde a, b, c ... r são números primos e n, m, p ... k são expoentes pertencentes a números naturais, que podem valer a partir de 1.

Em termos desses expoentes, há uma fórmula para saber quantos (mas não quais) divisores têm o número n. Seja c este valor:

C = (n +1) (m +1) (p +1) ... (k +1)

Uma vez que o número n é expresso em termos de produtos de números primos e sabe quantos divisores têm, você já tem as ferramentas para saber quais são seus divisores, tanto primos quanto não -cousins. E é necessário atender a todos eles para verificar se são amigos, exceto o último, que é o próprio número.

Exercícios resolvidos

- Exercício 1

Encontre todos os divisores dos dois amigos 220 e 284.

Solução

Primeiro, encontraremos os principais divisores de 220, que é um número composto:

Pode atendê -lo: estimativa pontual

220 │2
110 │2
55 │5
11 │11
1 │

A decomposição em fatores primos de 220 é:

220 = 2 x 2 x 5 x 11 = 2².5. onze

Portanto, n = 2, m = 1, p = 1 e possui:

C = (2+1). (1+1). (1+1) = 12 divisores

Os primeiros divisores que são avisados ​​sobre a decomposição do número são: 1, 2, 4, 5 e onze. E eles também são 110 e 55.

5 deles estariam faltando, que estão fabricando produtos entre primos e suas combinações: 2².5 = vinte;  2².11 = 44; 2. 11 = 22 e finalmente o 1 e o dele 220.

Um procedimento análogo para 284 é seguido:

284 │2
142 │2
71 │71
1 │

284 = 2². 71

C = (2+1). (1+1) = 3 x 2 = 6 divisores

Esses divisores são: 1, 2, 4, 71, 142 e 284, conforme declarado no começo.

Figura 2. Com o método descrito, esses casais podem ser analisados ​​para verificar se são números de amigos. Fonte: f. Zapata.

- Exercício 2

Verifique a fórmula Euler para n = 4 e m = 3 gera a lista de números primos (p, q, r) = (23,47, 1151). O que é o casal de amigos formados com eles?

Solução

Os números primos P, Q e R são calculados por:

P = (2^N-m + 1). 2^m - 1

Q = (2^N-m + 1). 2ⁿ - 1

R = (2^N-m + 1)². 2^M+n  - 1

Substituindo os valores de m = 3 e n = 4 é obtido:

P = (2^4-3 + 1). 2³ - 1 = 23

Q = (2^4-3 + 1). 2⁴ - 1 = 47

R = (2^4-3 + 1)². 2⁴⁺³  - 1 = 1151

Agora a fórmula é aplicada para encontrar os dois amigos números A e B:

A = 2ⁿpq 

b = 2ⁿr 

A = 2ⁿPQ = 16. 23. 47 = 17.296

b = 2ⁿR = 16. 1151 = 18.416

E, de fato, eles estão entre a lista dos primeiros números de casais de amigos que mostramos anteriormente.

Referências

1. Baldor, a. 1986. Aritmética. Edições e distribuições Codex.
2. Tudo sobre números primos. Números de amigos. Recuperado de: enfermeira.org.
3. Wolfram Mathworld. Regra de Euler. Recuperado de: Mathworld.Volfrâmio.com.
4. Wikipedia. Números amigáveis. Recuperado de: em.Wikipedia.org.
5. Wikipedia. Números de amigos. Recuperado de: é.Wikipedia.org.