Quantidade angular de momento, conservação, exemplos, exercícios

Ele momento angular o quantidade de movimento angular é, para o movimento de rotação, qual é o momento linear para o movimento de tradução. É uma magnitude vetorial que caracteriza a rotação de uma partícula pontual ou um objeto estendido em torno de um eixo que passa por um ponto.

Isso significa que sempre que o momento angular será calculado, o eixo de rotação deve ser especificado convenientemente.

Começando com um ponto material de massa m, o momento angular é denotado por eu, o momento linear como p e a posição da partícula em relação a um eixo que passa por um determinado ponto ou é r, então:

eu = r x p

Letras em negrito são reservadas para magnitudes vetoriais e a cruz significa que o momento angular é o produto vetorial entre o vetor de posição r E o momento linear p da partícula. O vetor que resulta de um produto vetorial é perpendicular ao plano formado pelos vetores participantes.

Isso significa que a direção e o sentido de eu Eles podem ser encontrados por regra da mão direita para o produto cruzado.

No sistema internacional de unidades, as unidades do momento angular são kg⋅m²/s, que não tem um nome especial. E para um corpo estendido, que é composto por muitas partículas, a definição anterior é convenientemente estende.

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Quantidade de movimento angular

Relação entre os vetores de momento angular em relação a um determinado ponto ou tempo linear para uma partícula pontual que se move em um círculo. Fonte: modificado por f. Zapata da Wikimedia Commons.

A magnitude do vetor de momento angular está de acordo com a definição de produto vetorial:

L = r⋅m⋅v⋅sen ϕ = mv (r⋅sen ϕ) = mvℓ

Onde ϕ é o ângulo entre os vetores r e v. Então ℓ = r sen ϕ é a distância perpendicular entre a linha de v E o ponto ou.

No caso da partícula que se move descrevendo a circunferência mostrada na imagem superior, este ângulo é 90º, pois a velocidade é sempre tangente à circunferência e, portanto, perpendicular ao raio.

Portanto sen 90º = 1 e a magnitude de eu é:

L = m⋅r⋅v

O momento da inércia

O momento de inércia de um corpo rígido descreve a inércia do corpo contra a rotação em torno de um certo eixo.

Depende não apenas do corpo do corpo, mas também da distância do eixo de rotação. Isso é facilmente compreensível ao pensar que, para alguns objetos, é mais fácil girar em relação a alguns eixos do que para outros.

Para um sistema de partículas, o momento da inércia, indicado pela letra I, é dado por:

Pode atendê -lo: aceleração angular

I = ∑ r_Yo² Δm_Yo

Onde Δm_Yo  É uma pequena porção de massa e r_Yo É a sua distância do eixo de rotação. Um corpo estendido é composto de numerosas partículas; portanto, seu momento de inércia total é a soma de todos os produtos entre massa e distância, das partículas que a compõem.

Se for um corpo estendido, o verão muda para uma integral e Δm Torna -se um diferencial em massa Dm. Os limites de integração dependem da geometria do objeto:

I = ∫_M (r²) Dm

O conceito de momento de inércia está intimamente relacionado ao momento angular de um objeto estendido, como veremos então.

Momento angular de um sistema de partículas

Considere um sistema de partículas, composto de massa Δm_Yo que está girando após um círculo no avião XY, Cada um tem uma velocidade linear relacionada à sua velocidade angular, este último para todas as partículas:

v_Yo = Ωr_Yo

Onde r_Yo É a distância do eixo de rotação ou. Portanto, a magnitude do momento angular é:

eu_Yo = Δm_Yo. r_Yo. (Ωr_Yo) = r_Yo²Ω Δm_Yo

O momento angular do sistema será dado pela soma:

L = Ω ∑ r_Yo² Δm_Yo

Identificamos rapidamente o momento da inércia, conforme definido na seção anterior e, portanto, a magnitude de seu momento angular permanece assim:

L = iω

Como dissemos que o sistema de partículas estava no plano XY, acontece que o momento angular é direcionado ao longo do eixo z, perpendicularmente ao referido plano. O significado é dado pela rotação: o momento angular.

Um corpo estendido pode ser dividido em fatias, cada uma com momento angular dado por L = iω direcionado ao longo do eixo z. Se o eixo de simetria do objeto coincidir com o eixo z, não há problema, pois mesmo para pontos que não estão no plano XY, os componentes do momento angular perpendicularmente ao referido eixo são cancelados.

Vetorialmente:

eu = IΩ

Esta equação é válida para objetos tridimensionais que giram em torno de um eixo de simetria.

Quando o momento angular varia?

Quando uma força líquida age em uma partícula ou um corpo, seu momento linear pode mudar e, consequentemente, ele também fará seu momento angular. Para saber quando variavamos, usamos o derivado, que nos dará a taxa de mudança ao longo do tempo, se houver:

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Aplicando a regra do produto para o derivado:

O fim v x mv É nulo, pois é o produto de um vetor consigo mesmo e, no segundo termo, encontramos a força líquida F = mpara, portanto:

O produto vetorial r x F Não é nada além do torque ou momento de torção líquida, às vezes denotadas com as letras gregas τ ou como M, Sempre ousado, pois é uma quantidade de vetor. Então, em analogia com o momento linear, o momento angular varia enquanto houver um torque ou momento de torção líquida:

deu/dt = M

Conservação do momento angular

Das seções anteriores, vimos isso:

deu/dt = M

Isto é, o momento angular varia quando há um momento de torção líquida. Se não houver momento de torção líquida, então:

deu/dt = 0 → l é constante

Em outras palavras:

Momento angular inicial = momento angular final

Este resultado ainda é válido no caso de um corpo não ser rígido, como veremos nos seguintes exemplos.

Exemplos

O momento angular é uma magnitude importante que é revelada em inúmeras situações, que demonstram como é universal:

Patinação artística e outros esportes

À esquerda, o skatista começa a girar com os braços estendidos, para a direita, encolhe os braços contra o corpo e cruza as pernas para aumentar sua velocidade de curva. Fonte: Wikimedia Commons.

Sempre que um corpo que gira contrata, sua velocidade de rotação aumenta, isso conhece bem os patinadores de gelo.

Isso ocorre porque quando contraímos braços e pernas, o momento da inércia I diminui, à medida que a distância entre suas partes diminui, mas à medida que o momento angular é preservado, para manter o produto iω constante, a velocidade angular deve aumentar.

Isso é válido não apenas no skate, mas também em esportes e atividades em que os turnos devem.

Gatos estão de pé

Os gatos sempre os consertam para pousar de quatro quando caem. Mesmo que eles não tenham uma quantidade de movimento inicial, eles garantem que giram rapidamente as pernas e a cauda para alterar sua inércia de rotação e consertá -las para se levantar.

Da mesma forma, enquanto manobra, seu momento angular é nulo, pois sua rotação não é contínua.

O movimento de um frisbee

Um Frisbee deve ser lançado imprimindo -o para voar, pois, caso contrário, cai. Na verdade, o momento angular.

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As bolas nos esportes

Beisebol, futebol, basquete e outras bolas esportivas têm momento angular. Como são esféricos, eles têm um momento de inércia e durante o jogo são girados. Como o momento de inércia de uma esfera é:

I = (2/5) Sr²

Onde m é a massa da bola e r seu raio, o momento da inércia em relação a um determinado eixo (fixo) é:

L = (2/5) MR²Ω

O monte da lua

A lua está se afastando da terra, uma vez que a velocidade de rotação da terra diminui devido ao atrito entre as grandes massas aquáticas e o fundo do mar.

O sistema de luna de terra mantém seu momento angular.

O átomo

O primeiro postulado do modelo atômico de Bohr afirma que um elétron ocupa apenas órbitas onde o momento angular é um múltiplo inteiro de H/2π, Onde h é constante de Planck.

Exercício resolvido

Uma haste de aço fina tem uma massa de 500 g e um comprimento de 30 cm. Gira em torno de um eixo que passa pelo seu centro a uma taxa de 300 revoluções por minuto. Determine o módulo de sua quantidade de movimento angular.

Solução

Precisaremos do momento de inércia da haste referindo -se a um eixo que passa pelo seu centro. Consultando o momento da inércia encontra -se que:

I = (1/12) ml² = (1/12) × 0.5 kg x (30 × 10^-2 m)² = 3.75 × 10^-3 kg.m²

Como é um corpo estendido, que conhecemos a velocidade angular, usamos:

L = iω

Antes de transformarmos a velocidade angular ou a frequência angular Ω para Radianes:

Ω = (300 revoluções/minuto) × (1 minuto/60 segundos) x (2π radianos/revolução) = 10 π rad/s

Substituindo:

L = 3.75 x10^-3 kg⋅m² × 10 π rad/s = 0.118 kg⋅m² / s

Referências

1. Bauer, w. 2011. Física para engenharia e ciências. Volume 1. Mc Graw Hill.
2. Giambattista, a. 2010. Física. 2º. Ed. McGraw Hill.
3. Giancoli, d.  2006. Física: Princípios com aplicações. 6º. Ed Prentice Hall.
4. Cavaleiro, r.  2017. Física para cientistas e engenharia: uma abordagem de estratégia.  Pearson.
5. Serway, r., Jewett, J. (2008). Física para Ciência e Engenharia. Volume 1. 7º. Ed. Cengage Learning.
6. Tiptens, p. 2011. Física: conceitos e aplicações. 7ª edição. McGraw Hill.