Funções trigonométricas básicas, no avião cartesiano, exemplos, exercícios

As funções trigonométricas De variável real, eles correspondem a qualquer ângulo (expresso em Radianes), uma razão trigonométrica, que pode ser seno, cosseno, tangente, cotangente, secante e harvester.

Dessa maneira, temos as seis funções trigonométricas: seio, cosseno, tangente, colheita, secagem e cotangent.

figura 1. Animação do círculo trigonométrico. Fonte: Wikimedia Commons.

As funções trigonométricas para ângulos entre 0 e 2π são definidas com a ajuda da circunferência unitária, da Rádio 1 e cujo centro coincide com o da origem do sistema de coordenadas cartesianas: o ponto (0,0).

Podemos localizar qualquer ponto p de coordenadas (x, y) nesta circunferência.

O segmento que une a origem com P, juntamente com os respectivos segmentos que unem as projeções de P nos eixos de coordenadas, compõem um triângulo retângulo, cujas razões trigonométricas são conhecidas como os quocientes entre os lados do triângulo. Então:

• sin θ = oposto /hipotenusa cateto
• cos θ = adjacente /hipotenusa cateto
• TG θ = Cateto oposto /Cateto adjacente

E agora as razões que são o inverso do exposto:

• sec θ = hipotenusa /cateto adjacente
• Dano θ = hipotenusa /cateto oposto
• CTG θ = Cateto adjacente /Cateto oposto

No círculo unitário, a hipotenusa de qualquer triângulo é igual a 1 e as categorias valem x e y, então:

sin θ = y

cos θ = x

Figura 2. O triângulo certo no círculo unitário. Fonte: Wikimedia Commons.

Dessa maneira, as funções seno e cosseno sempre adquirem valores entre -1 e 1, enquanto os restantes:

tg θ = y/x

dano θ = 1/y

Sec θ = 1/x

Eles não são definidos quando x qualquer e Eles valem 0.

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Funções trigonométricas no avião cartesiano

Como veremos abaixo, as funções trigonométricas são caracterizadas por serem periódicas. Portanto, eles não são bijetivos, exceto em um domínio restrito.

Função f (x) = sin x x

Começando no círculo trigonométrico no ponto P (1.0), o ângulo é 0 radianos. Em seguida, o raio gira em um sentido anti -marário e a função Sen X está crescendo gradualmente até atingir os radianos π/2 (90º), equivalente a 1.Aproximadamente 571 radianos.

Pode servir a você: ângulos suplementares: o que são, cálculo, exemplos, exercícios

Lá atinge o valor y = 1 e depois diminui até atingir zero em radianes π (180 °). Posteriormente, diminui ainda mais, uma vez que o valor se torna negativo até atingir -1 quando o ângulo é 3π/2 radianos (270 °).

Finalmente, aumenta novamente até voltar a zero em 360 °, onde tudo começa de novo. Isso faz y = sin x a função periódica do período 2π, então a função sinusal não é bijetiva.

Além disso, o gráfico é simétrico em relação ao ponto (0,0), portanto a função é estranha.

Então o gráfico de y = sen x:

Figura 3. Função Gráfico F (x) = sin x x. Fonte: Stewart, J. Preccculment: Matemática para a Universidade.

A seção vermelha é o primeiro período. Ângulos negativos também são considerados, uma vez que o raio do círculo trigonométrico pode girar em um cronograma.

Sen X Domínio = Todos os reais.

Sen X Range ou Route = [-1,1]

Função f (x) = cos x

No ponto P (1.0), a função Coseno vale 1 e a partir daí diminui, atingindo 0 quando o ângulo é π/2. Continue diminuindo e leva valores negativos, até atingir -1 em ângulo π.

Então começa a aumentar gradualmente até atingir 0 em 3π/2 e assume o valor novamente quando o raio gira uma volta completa. A partir daí, o ciclo é repetido, pois o cos x é periódico e também é torque (simétrico em torno do eixo vertical).

A forma da função cosseno é a mesma da função do seio, a menos que sejam deslocados π/2 um em relação ao outro.

Figura 4. Função Gráfico F (x) = sin x x. Fonte: Stewart, J. Preccculment: Matemática para a Universidade.

Cos X domain = Todos os reais.

Pode atendê -lo: estimativa pontual

Rota ou rota cos x = [-1,1]

Funções trigonométricas descontínuas

As funções TG X, CTG X, Sec X e Hars. Como eles valem 0 em alguns ângulos, quando aparecem no denominador, fazem a função descontínua.

E como seio e cosseno são funções periódicas, as funções TG X, CTG X, Sec X, Harm x também são.

Função tangente f (x) = tg x

Para a função tangente, os valores de descontinuidade são: ± π/2, ± 3π/2, ± 5π/2 ... A função leva valores muito grandes ou muito pequenos. Em geral, isso acontece para todos os múltiplos de π da forma (2n+1) π/2, positivos e negativos, com n = 0, 1, 2 ..

Figura 5. Função Gráfico F (x) = Tg X. Fonte: Wikimedia Commons.

Portanto:

Domínio TG X: D = x ∈ R / x ≠ (2n+1) π/ 2; n ∈ Z

Rank ou TG X Tour: Todos os reais.

Observe que a função f (x) = tg x é repetida entre - π/2 e + π/2; portanto, seu período é π. Além disso, é simétrico em relação à origem.

Função cotangente f (x) = ctg x

Para esta função, os valores de descontinuidade ocorrem em 0, ± π, ± 2π…, isto é, todo o múltiplo de π.

Figura 6. Função Gráfico F (x) = Cotg X. Fonte: Wikimedia Commons.

Como a função tangente, a função cotangente é período periódico π. Para ela, é cumprido que:

Domínio CTG x: D = x ∈ R / x ≠ n π; n ∈ Z

CTG x intervalo ou rota: Todos os reais.

Função de secagem f (x) = seg x

A função Sec X tem pontos de descontinuidade em ± π/2, ± 3π/2, ± 5π/2…, onde cos x = 0. Também é período periódico π e também é observado do gráfico que a função nunca leva valores no intervalo (-1,1)

Pode atendê -lo: números inteiros Figura 7. Função Gráfico F (x) = Sec X. Fonte: Wikimedia Commons.

DOMA DE SEC X: D = x ∈ R / x ≠ (2n+1) π/ 2; n ∈ Z

Sec X Range ou Route: Todos os reais, exceto (-1,1)

Função de colheita f (x) = dano x

É semelhante à função de secagem, embora seja deslocada para a direita, portanto os pontos de descontinuidade são 0, ± π, ± 2π e todos os múltiplos de π. Também é periódico.

Figura 8. Função Gráfico F (x) = dano x. Fonte: Wikimedia Commons. Geek3/CC BY-SA (https: // CreativeCommons.Org/licenças/BY-SA/4.0)

Domínio de dano x: D = x ∈ R / x ≠ n π; n ∈ Z

Rota de alcance ou harmonia: Todos os reais, exceto (-1,1)

Exercício resolvido

Um homem de 6 pés de altura projeta uma sombra cuja duração é dada por:

S (t) = 6 │Cot (π.T/12) │

Com s aos pés e t no número de horas após as 6 da manhã. Quanto é a sombra às 8h, às 12 m, às 14h e às 17h45?

Solução

Devemos avaliar a função de cada um dos valores dados, observe que o valor absoluto deve assumir, uma vez que a duração da sombra é positiva:

-Às 8 horas, 2 horas se passaram a partir das 6h, portanto, t = 2 e s (t) é:

S (2) = 6 │Cot (π.2/12) │pies = 6 │Cot (π/6) │pies = 10.39 pés.

-Quando é 12 n, t = 6 horas se passaram, portanto:

S (6) = 6 │Cot (π.6/12) │pies = 6 │Cot (π/2) │pies = 0 pés. (Naquela época, o sol cai verticalmente na cabeça da pessoa).

-Às 14:00, eles gastaram t = 8 horas:

S (8) = 6 │Cot (π.8 /12) │pies = 6 │Cot (2π /3) │pies = 3.46 pés.

-Quando são 17h45, 11 passaram 11.75 horas a partir das 6h, então:

S (11.75) = 6 │COT (π x 11.75/12) │pies = 91.54 pés. Neste momento, as sombras estão ficando mais longas.

O leitor pode calcular o tempo em que a sombra da pessoa é igual à sua altura?

Referências

1. Carena, m. 2019. Manual de matemática da pré -universidade. Universidade Nacional da Costa.
2. Figuera, j. 1999. Matemática. 1º. Diversificado. Edições Bolivarianas Collegiate.
3. Hoffman, J. Seleção de questões de matemática. Volume 4.
4. Jiménez, r. 2008. Álgebra. Prentice Hall.
5. Zill, d. 1984. Álgebra e trigonometria. McGraw Hill.