Frações Parciais

O método de decomposição em frações parciais é usado para resolver integrais. Fonte: f. Zapata.

O que são frações parciais?

O método de Frações Parciais o Frações simples é usado na álgebra e no cálculo matemático para decompor uma expressão racional, deixando uma soma algébrica de frações mais simples.

Sendo as frações simples adicionais, o cálculo de operações como derivadas e integrais, entre outros, é facilitado.

Considere a seguinte expressão algébrica racional, que consiste em polinômios p (x) e q (x) no numerador e denominador, respectivamente:

Você quer escrever esta expressão como a soma de frações menores. Para fazer isso, deve -se notar que Polinomial Q (x) no denominador é um trinômio quadrado, que pode ser rapidamente fator, como um produto de dois fatores:

x²+x - 12 = (x+4) (x - 3)

Portanto, a expressão anterior permanece a seguinte:

Conhecendo a soma das frações, essa maneira de escrever a expressão leva facilmente a esse outro:

Resta encontrar os valores de A e B, para que a expressão original seja expressa como a soma dessas duas frações menores. Para o exemplo mostrado, os valores são: a = 3 e b = 2, e o leitor pode confirmar que, na verdade, a soma:

É equivalente à expressão original:

Já que:

Como as frações parciais são calculadas?

Existem métodos para o cálculo dos coeficientes que devem entrar nos numeradores das frações simples, que dependem da forma da expressão racional original, isto é, da forma de p (x)/q (x).

Em primeiro lugar, deve -se lembrar que, quando o grau de p (x) é menor que o de Q (x), é um própria expressão racional, E se o oposto ocorrer, é um Expressão racional imprópria.

Os métodos para se decompor em frações simples se referem às suas próprias expressões algébricas, se não forem, devem primeiro ser reduzidas, realizando a operação de divisão P (x)/Q (x).

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Então, o objetivo é encontrar os numeradores de cada uma das frações, para as quais quatro casos são distinguidos, o que depende da fatoração do denominador Q (x).

Caso 1: Os fatores de q (x) são lineares e não repetidos

Se os fatores de q (x) são lineares e não repetidos, ou seja, eles são da forma (x-a_Yo):

Q (x) = (x -a₁)(para₂)… (para_n)

Com um₁ ≠ a₂  ≠ a₃ … ≠ a_n, Ou seja, todos os fatores de Q (x) são diferentes, a expressão racional é escrita como:

Os valores de um₁, PARA₂, PARA₃… PARA_n, Eles devem ser determinados. A expressão racional mostrada no início é um exemplo deste caso.

Caso 2: Q (x) tem fatores lineares repetidos

Se q (x) consistir em um fator repetido da forma (x - a)ⁿ, Com n ≥ 2, a decomposição em frações parciais é realizada da seguinte forma:

Como no caso anterior, os coeficientes devem ser determinados por procedimentos algébricos.

Caso 3: Q (x) tem um fator quadrático irredutível não exposto

Se, considerando q (x), um fator quadrático irredutível aparecer, da forma de machado²+BX+C, para esse fator, na decomposição deve ser incluída, uma adição com este formulário:

Os valores de A e B devem ser encontrados.

Caso 4: Q (x) tem um fator quadrático irredutível e repetido

Supondo que a fatoração de Q (x) contenha um fator quadrático irredutível e repetido²+BX+C)ⁿ, Os seguintes addores devem ser incluídos:

Como sempre, os coeficientes necessários devem ser calculados. Os exemplos abaixo mostram os procedimentos algébricos que são necessários.

Exemplos de frações parciais

Exemplo 1

A seguinte expressão racional:

Ele já vem com o denominador fatorizado, consistindo em dois fatores lineares não repetidos, então Q (x) é:

Q (x) = (x+2) (x - -1)

Então, a decomposição em frações parciais procurada corresponde ao Caso 1, sendo capaz de escrever:

Para encontrar os respectivos valores de A e B, é realizada a soma da igualdade:

Pode atendê -lo: elipse

Equalizando numeradores:

A (x - 1) + b (x + 2) = 3x

Aplicando propriedades distributivas e agrupamento de termos semelhantes:

AX - a + bx + 2b = 3x

(A +b) x +( - a +2b) = 3x

O coeficiente (a+b) é igual a 3, uma vez que ambos acompanham, em ambos os lados da igualdade, ao termo que contém "x". Por sua vez, o coeficiente (−a+2b) é igual a 0, pois ao direito de igualdade não há outro termo semelhante.

O sistema a seguir de duas equações com duas incógnitas é formado:

A+b = 3
−a+2b = 0

Cuja solução é:

A = 2
B = 1

Portanto:

O leitor pode verificar a igualdade, realizando a soma das seções à direita.

Exemplo 2

Nesta outra expressão:

Também fatorizado, a aparência do termo repetido (x+1) é observado², Além do termo linear (x+2). Nesse caso, a decomposição em frações parciais, conforme indicado no caso 2, é:

Para encontrar os valores de A, B e C, a soma da direita é executada e apenas o numerador é usado:

O numerador da expressão resultante é igual ao da expressão original, desenvolvendo algebraicamente para separar os termos semelhantes:

A (x+1)² + B (x+2) (x+1)+c (x+2) = x - 3

A (x²+2x+1)+b (x²+3x+2)+c (x+2) = x --3

(A+b) x² + (2a+3b+c) x+(a+2b+2c) = x - 3

A partir do resultado, um sistema de três equações com três incógnitas A, B e C:

A + b = 0
2a+3b+c = 1
A+2b+2c = −3

A solução do sistema é:

A = −5
B = 5
C = −4

A decomposição em frações parciais solicitadas é:

Exercício resolvido

Esta seção mostra um exercício resolvido ilustrando a aplicação do método de frações parciais ou frações simples, no cálculo de integrais indefinidos. O objetivo é escrever a integração de uma maneira mais simples.

Uma vez reescrito, as integrais simples resultantes são procuradas em uma tabela ou resolvidas por uma mudança variável simples.

Pode atendê -lo: Antecedentes históricos da geometria analítica

É solicitado a calcular a seguinte integral:

Solução

O primeiro é verificar se a integração é, de fato, uma expressão algébrica racional, uma vez que o grau do numerador é menor que o do denominador. Seu denominador é facilmente fator e permanece:

Portanto, q (x) é:

Q (x) = x (x²+2)

E consiste em um termo linear: x e um termo quadrático irredutível não repetido: x x²+2, portanto, é uma combinação de caso 1 e 3. A decomposição em frações parciais da integração é:

Fazendo a soma à direita da igualdade:

Como sempre, para frações parciais, funciona apenas com o numerador da expressão da soma, que sempre deve ser igual à da expressão original:

A (x² + 2) + x (bx + c) = 2

Em desenvolvimento:

Machado² + 2a + bx² + Cx = 2

Agrupando termos semelhantes:

(A+b) x² + Cx + 2a = 2

Igual os coeficientes dos termos semelhantes, o sistema de equações a ser resolvido é obtido, com as incógnitas A, B e C:

A + b = 0
C = 0
2a = 2

A partir da segunda equação, já se sabe que C = 0, a partir da última, segue -se que a = 1, portanto b = -1, de modo que o primeiro. Com esses valores, é obtido:

Agora ele é substituído na integral original:

E duas integrais simples com funções elementares são obtidas, encontradas nas tabelas ou são uma resolução rápida.

O primeiro IDE estes integrais é elementar:

E a segunda integral:

É resolvido com a seguinte mudança de variável: u = x²+4, du = 2xdx, dando origem a:

Retornando a mudança de variável:

Finalmente, coletando os dois resultados, a solução é determinada:

As duas constantes de integração vão em uma, chamada C.

Referências

1. Araujo, f. 2018. Cálculo integral. Universidade Politecnica Salesiana. Editorial da Universidade de Abya-Yala. Quito, Equador.
2. Arcega, r. Integração por decomposição em frações parciais. Recuperado de: Emirados Árabes Unidos.Edu.mx.
3. Larson, r. 2012. Pré -cálculo. 8º. Edição. Cengage Learning.
4. Purcell, e. J. 2007. Cálculo. 9NA. Edição. Prentice Hall.
5. Swokowski, e. 2011. Álgebra e trigonometria com geometria analítica. 13. Edição. Cengage Learning.