Equações fracionárias

As equações fracionárias incluem frações numéricas e/ou algébricas, e o desconhecido pode estar no numerador e no denominador, ou ambos

O que são equações fracionárias?

As equações fracionárias são aqueles que contêm frações em um ou mais de seus termos. Tais frações podem ser numéricas ou algébricas, onde o desconhecido pode ser encontrado no numerador e/ou no denominador de qualquer termo.

Então, alguns exemplos de equações fracionárias com um único desconhecido:

O primeiro exemplo é uma equação linear com coeficientes fracionários; No segundo exemplo, o desconhecido está no denominador de cada um dos termos e, no último, o desconhecido é o numerador e no denominador.

Para resolvê -los, é necessário realizar algumas transformações algébricas e, assim, obter uma equação equivalente, na qual o desconhecido não aparece no denominador. Depois que este procedimento é realizado, a solução é encontrada usando as técnicas apropriadas.

A solução consiste no conjunto de valores "x" que atendem à igualdade. Pode ser um valor único, ou vários, mas, em qualquer caso, é muito importante ter em mente que nem todas as soluções na equação equivalente são aceitáveis ​​para a equação original.

De fato, se é uma equação cujo desconhecido está no denominador, os valores "x" que anulam deve ser evitado, mesmo que pertencem ao conjunto de soluções equivalentes equivalentes. Isso ocorre porque a divisão entre 0 não está definida.

Se a equação equivalente tiver uma solução única, e acontece que o denominador de qualquer um dos termos da equação original é cancelado, então ela não tem solução.

Como resolver uma equação fracionária

As operações que são realizadas para resolver equações não confrativas são válidas, desde que a igualdade seja mantida. Dessa maneira, em uma equação fracionária, você pode adicionar ou subtrair a mesma quantidade a ambos os lados da igualdade, multiplicar todos os termos pela mesma quantidade ou dividir cada termo pela mesma quantidade (diferente de 0).

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Mas como a equação fracionária é necessária para se transformar em outro equivalente sem denominadores, as seguintes indicações gerais também são seguidas:

1. Encontre o múltiplo comum mínimo de denominadores (M.c.m).
2. Multiplique cada termo pelo M.c.m., Para eliminar os denominadores.
3. Resolva a equação equivalente obtida.
4. Verifique se as soluções encontradas satisfazem a igualdade original.

Tipos de equações equivalentes

As equações equivalentes obtidas após o procedimento indicado podem ser:

• Linear ou em primeiro grau
• Quadrático
• De ordem superior

Exemplos resolvidos

Exemplo 1

Resolva a seguinte equação:

Note -se que a equação é em primeiro grau em "X", pois "x" é alto em 1. Os coeficientes da equação são frações e uma maneira de eliminá -los, para trabalhar com números inteiros, multiplicando todos os termos pelo múltiplo mínimo de denominadores (M.c.m.).

m.c.m. (2,3,6) = 6

Então:

3x - 2x = 1

x = 1

O leitor pode verificar a validade desta solução, substituindo x = 1 na equação original e verificando que uma igualdade é obtida.

Exemplo 2

Determine os valores "x" que satisfazem:

Ao contrário do exemplo anterior, neste caso o desconhecido é encontrado no denominador. Observe que os denominadores são anulados para os valores x = 2 e x = −1, um detalhe que é conveniente para levar em consideração, pois, se a equação equivalente admite essas soluções, devemos descartá -los, pois eles não são admissíveis Na equação original.

Agora devemos transformar a equação em outra sem denominadores, o primeiro passo é fazer com que a soma dos termos à esquerda da igualdade:

Como os denominadores são iguais, de modo que a igualdade é cumprida, é necessário que os numeradores também sejam:

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4 (x+1) - 3 (x -2) = 8

Basta resolver esta equação, que acaba sendo a primeira série:

4x + 4 - 3x + 6 = 8

x = 8 - 6 - 4 = - 2

x = - 2

Como esse valor é diferente dos valores proibidos, é admitido como uma solução da equação original.

Exemplo 3

Encontre a solução de:

Nesta equação, o valor x = 4 cancela os denominadores, portanto, é excluído do conjunto de soluções da equação transformada, se aparecer.

A equação transformada é fácil de encontrar, basta multiplicar todos os termos pelo fator (X-4):

Ficando:

2x - 4 = 4

2x = 8

x = 4

Exemplo 4

Resolva a equação:

Nesse caso, os denominadores têm termos quadráticos, por isso é conveniente fatorá -los primeiro:

• x² + 8x + 7 = (x + 7) (x + 1)
• x² - 49 = (x + 7) (x - 7)
• x² - 6x - 7 = (x - 7) (x + 1)

A equação é assim:

Os valores de x que cancelam qualquer um dos denominadores são: x = −7, x = 7, x = −1. Portanto, mesmo que esses valores façam parte do conjunto de soluções da equação modificada, eles não podem ser uma solução da equação original.

Agora vem o processo de transformar a equação. O primeiro passo é encontrar o múltiplo comum mínimo dos denominadores:

m.c.m. = (x + 7) (x - 7) (x + 1)

Multiplicando em ambos os lados da igualdade por M.c.m. é sobrou:

Resultante:

(x --7) (x− 2) = (x + 1) (2x - 5) - (x + 7) (x - 2)

Através da propriedade distributiva, os produtos são desenvolvidos:

x² - 9x +14 = 2x² - 3x - 5 - (x² + 5x - 14)

Reduzindo termos semelhantes no lado direito:

x² - 9x + 14 = x² - 8x + 9

Os termos quadráticos são cancelados, encontrando o mesmo sinal em diferentes lados da igualdade:

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- 9x + 14 = - 8x + 9

-x = -5 ⇒ x = 5

Este resultado é admitido como uma solução, pois não é nenhum dos valores proibidos.

Exercício de aplicação de equações fracionárias

O denominador de uma fração excede quatro unidades ao numerador. Se o numerador for subtraído do numerador e o denominador também, a fração resultante é 3/5. Determine a fração original.

Solução

Seja x o valor do numerador.

Como o denominador da fração excede quatro unidades ao numerador, a fração original é:

Agora você precisa subtrair 5 unidades, tanto para o numerador quanto o denominador:

Como a fração resultante da realização do procedimento anterior é igual a 3/5, eles são equalizados:

Exemplo de equação fracionária. Fonte: f. Zapata.

Esta é uma equação fracionária com o desconhecido em numerador e denominador, que é cancelado em x = 1. Portanto, esse valor deve ser excluído, se estivesse entre as soluções da equação transformada.

Em seguida, ele multiplica os dois lados pelo múltiplo comum mínimo, que é 5 (x - 1):

Resultando na seguinte equação equivalente:

5 (x - 5) = 3 (x - 1)

Aplicando propriedade distributiva:

5x -25 = 3x - 3 ⇒ 2x = 22

x = 11

A fração original está substituindo x = 11 na expressão:

Resultando em fração 11/15. Esta é a resposta para o problema levantado.

Referências

1. Equações fracionárias. Recuperado de: Mathepower.com
2. Portal de Matemática. Equações fracionárias. Resolução de problemas. Recuperado de: Silvioduarte.com.
3. Stewart, J. (2007). Preccculment: Matemática para Cálculo. 5 ª. Edição. Cengage Learning.
4. Sullivan, m. (1997). Pré -cálculo. 4º. Edição. Pearson Education.
5. Zill, d. (2008). Preccultment com avanços de cálculo. 4º. Edição. McGraw Hill.