Derivados algébricos

O que são derivados algébricos?

As derivados algébricos Eles consistem no estudo da derivada no caso particular de funções algébricas. A origem da noção de derivada remonta à Grécia antiga. O desenvolvimento dessa noção foi motivado pela necessidade de resolver dois problemas importantes, um em física e outro em matemática.

Na física, o derivado resolve o problema de determinar a velocidade instantânea de um objeto em movimento. Em matemática, permite encontrar a linha tangente em uma curva em um determinado ponto.

Embora existam realmente muito mais problemas que são resolvidos usando o derivado, bem como suas generalizações, resultados que vieram mais tarde para a introdução de seu conceito.

Os pioneiros do cálculo diferencial são Newton e Leibniz. Antes de dar a definição formal, desenvolveremos a idéia por trás, do ponto de vista matemático e físico.

O derivado como pendente da linha tangente para uma curva

Suponha que o gráfico de uma função y = f (x) seja um gráfico contínuo (sem picos, vértices ou separações) e a = (a, f (a)) um ponto fixo sobre ele. Queremos encontrar a equação de linha tangente para a função f no ponto a.

Vamos tomar outro ponto p = (x, f (x)) do gráfico, próximo ao ponto A, e rastrear a linha de secagem que passa por A e P. Uma linha de secagem é uma linha que corta o gráfico de uma curva em um ou mais pontos.

Para obter a linha tangente que queremos, é necessário apenas calcular a inclinação porque já temos um ponto da linha: o ponto a.

Se movermos o ponto P pelo gráfico e abordarmos cada vez mais para o ponto A, a linha seca mencionada anteriormente se aproximará da linha tangente que você deseja encontrar. Tomando o limite quando "p tende a um", ambas as linhas coincidem, portanto suas encostas também.

A inclinação da linha secante é dada por

Dizer que P está próximo de A, é equivalente a dizer que "x" se aproxima "a". Assim, a inclinação da linha tangente para o gráfico de f no ponto A será igual a:

A expressão anterior é denotada por f '(a) e é definida como a derivada de uma função f no ponto "a". Vemos que analiticamente, o derivado de uma função em um ponto é um limite, mas geometricamente, é a inclinação da linha tangente ao gráfico da função no ponto.

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Agora veremos essa noção do ponto de vista da física. Atingiremos a mesma expressão do limite anterior, embora por um caminho diferente, obtendo assim a unanimidade da definição.

O derivado como velocidade instantânea de um objeto em movimento

Vejamos um breve exemplo do que significa velocidade instantânea. Quando é dito, por exemplo, que um carro para chegar a um destino o fez com uma velocidade de 100 km por hora, o que significa é que em uma hora ele viajou 100 km.

Isso não significa necessariamente que, durante toda a hora, o carro estava sempre 100 km, o vecímetro do carro poderia em alguns momentos marcar menos ou mais. Se ele tivesse a necessidade de ficar com um semáforo, a velocidade naquele momento era de 0 km. No entanto, depois de uma hora, a rota era de 100 km.

Isso é conhecido como velocidade média e é dado pelo quociente da distância percorrida entre o tempo decorrido, como acabamos de ver. A velocidade instantânea, enquanto isso, é a que marca a agulha de velocímetro de um carro em um certo instante (tempo).

Vamos ver isso agora mais geral. Suponha que um objeto se mova ao longo de uma linha e que esse deslocamento seja representado por meio da Equação S = F (T), onde a variável t mede o tempo e a variável S o deslocamento, levando em consideração seu começo no momento t = 0, quando também é zero, ou seja, f (0) = 0.

Esta função f (t) é conhecida como função de posição.

Uma expressão para a velocidade instantânea do objeto é procurada em um instante fixo. Nesta velocidade, nós o indicaremos por v (a).

Seja a qualquer momento próximo ao instante "A". No intervalo de tempo entre "a" e "t", a mudança de posição é dada por f (t) -f (a).

A velocidade média neste intervalo de tempo é:

Que é uma aproximação da velocidade instantânea v (a). Esta abordagem será melhor à medida que T se aproxima de "A". Portanto,

Vamos perceber que essa expressão é igual à obtida no caso anterior, mas de uma perspectiva diferente. É isso que é conhecido como o derivado de uma função f em um ponto "a" e é denotado por f '(a), como afirmado acima.

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Observe que fazer a mudança h

Ambas as expressões são equivalentes, mas às vezes devem ser usadas mais para uma do que a outra, dependendo do caso.

Então é definido de maneira mais geral que derivou de uma função f em qualquer ponto "x" pertencente ao seu domínio como

A notação mais usual para representar a derivada de uma função y = f (x) é a que acabamos de ver (f 'o y'). No entanto, outra notação amplamente utilizada é a notação de Leibniz representada como qualquer uma das seguintes expressões:

Em vista do fato de que o derivado é em essência um limite, pode ou não existir, pois os limites nem sempre existem. Caso exista, diz -se que a função em questão é diferenciável no ponto determinado.

Função algébrica

Uma função algébrica é uma combinação de polinômios através de somas, subtrações, produtos, quocientes, poderes e radicais.

Um polinômio é uma expressão de forma

P_n= a_nxⁿ+ para_N-1x^N-1+ para_N-2x^N-2+… + A₂x²+ para₁x+a₀

Onde n é um número natural e todo o_Yo, Com i = 0,1,…, n são números racionais e_n≠ 0. Nesse caso, diz -se que o grau deste polinômio é n.

A seguir, são apresentados exemplos de funções algébricas:

Aqui as funções exponenciais, logarítmicas e trigonométricas não estão incluídas. As regras de derivação que veremos abaixo são válidas para funções em geral, mas vamos restringir e aplicá -las no caso de funções algébricas.

Regras de derrying

Derivado de uma constante

Afirma que o derivado de uma constante é zero. Isto é, se f (x) = c, então f '(x) = 0. Por exemplo, o derivado da função constante 2 é igual a 0.

Derivado de um poder

Se f (x) = xⁿ, então f '(x) = nx^N-1. Por exemplo, x derivado³ É 3x². Como conseqüência disso, obtém -se que o derivado da função de identidade f (x) = x é f '(x) = 1x^1-1= x⁰= 1.

Outro exemplo é o seguinte: deixe f (x) = 1/x², então f (x) = x^-2 e f '(x) = -2x^-2-1= -2x^-3.

Esta propriedade também é raízes válidas, pois as raízes são poderes racionais e o acima também pode ser aplicado nesse caso. Por exemplo, o derivado de uma raiz quadrada é dada por

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Derivado de uma soma e uma subtração

Se f e g são funções diferenciáveis ​​em x, a soma f+g também é e é cumprido que (f+g) '(x) = f' (x)+g '(x) (x) (x).

Da mesma forma, você precisa (f -g) '(x) = f' (x) -g '(x). Em outras palavras, o derivado de uma soma (subtração) é a soma (ou subtração) dos derivados.

Exemplo

Se h (x) = x²+X-1, então

H '(x) = (x²)+(x) '-(1)' = 2x+1-0 = 2x+1.

Produto derivado de um produto

Se F e G são funções diferenciáveis ​​em x, o produto FG também é diferenciável em x e é cumprido que

(fg) '(x) = f' (x) g (x)+f (x) g '(x).

Como conseqüência, ele tem se c é uma constante e f é uma função diferenciável em x, então CF também é diferenciável em x Y (cf) '(x) = cf' (x).

Exemplo

Se f (x) = 3x (x²+1) então

f '(x) = (3x)' (x²+1)+(3x) (x²+1) '= 3 (x)' (x²+1)+3x [(x²) '+(1)]

= 3 (1) (x²+1)+3x [(2x^2-1) +0] = 3 (x²+1)+3x (2x) = 3x²+3+6x²

= 9x²+3.

Derivado de um quociente

Se f e g são diferenciáveis ​​em x e g (x) ≠ 0, então f/g também é diferenciável em x, e é cumprido que

Exemplo: Se h (x) = x³/(x²-5x), então

H '(x) = [(x³) '(X⁵-5x)-(x³) (x⁵-5x) ']/ (x⁵-5x)²= [(3x²) (x⁵-5x)- (x³) (5x⁴-5)]/ (x⁵-5x)².

Regra da cadeia

Esta regra permite derivar a composição das funções. Estabelece o seguinte: se y = f (u) for diferenciável em u, e u = g (x) for diferenciável em x, então a função composta f (g (x)) é diferenciável em x, e é cumprido que [f (f (f (f (f (f (f (f (f (f (f (f (f (f (f (f (f (f (f (f (f (f g (x)]] '= f' (g (x)) g '(x).

Ou seja, o derivado de uma função composta é o produto da derivada da função externa (derivada externa) pela função interna derivada (derivada interna).

Exemplo

Se f (x) = (x⁴-2x)³, então

f '(x) = 3 (x⁴-2x)²(x⁴-2x) '= 3 (x⁴-2x)²(4x³-2).

Também existem resultados para calcular o derivado conversador de uma função, bem como a generalização para derivados de ordem superior. As aplicações são extensas. Entre eles, seus lucros em otimização e funções mínimas são destacadas.

Referências

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