Cálculo de abordagem usando diferenciais

Uma abordagem em matemática é um número que não é o valor exato de algo, mas é o mais próximo disso que é considerado tão útil quanto o valor exato.

Quando as abordagens de matemática são realizadas, é porque é manualmente difícil (ou às vezes impossível) saber o valor preciso do que você deseja.

A ferramenta principal ao trabalhar com abordagens é o diferencial de uma função. O diferencial de uma função f, indicado por ΔF (x), nada mais é do que o derivado da função f multiplicado pela mudança na variável independente, ou seja, Δf (x) = f '(x)*Δx.

Às vezes, df e dx são usados ​​em vez de ΔF e Δx.

Abordagens usando diferencial

A fórmula aplicada para executar uma aproximação através do diferencial surge apenas da definição da derivada de uma função como um limite.

Esta fórmula é dada por:

f (x) ≈ f (x0) + f '(x0)*(x-x0) = f (x0) + f' (x0)*Δx.

Aqui é entendido que Δx = x-x0, portanto, x = x0+Δx. Usando isso, a fórmula pode ser reescrita como

f (x0 + Δx) ≈ f (x0) + f '(x0)*Δx.

Deve -se notar que "x0" não é um valor arbitrário, mas que é um valor tão que f (x0) é facilmente conhecido; Além disso, "f (x)" é apenas o valor que queremos abordar.

Existem melhores abordagens?

A resposta é sim. O anterior é o mais simples das abordagens chamadas "abordagem linear".

Para abordagens de melhor qualidade (o erro cometido é menor), são usados ​​polinômios com mais derivados chamados "Taylor Polinomials", além de outros métodos numéricos, como o método de Newton-Raphson, entre outros, entre outros, entre outros, entre outros, entre outros, entre outros, entre outros, entre outros, entre outros, entre outros.

Estratégia

A estratégia a seguir é:

- Escolha uma função f adequada para realizar a aproximação e o valor “x” que f (x) é o valor que você deseja aproximar.

- Escolha um valor "x0", próximo a "x", de modo que f (x0) seja fácil de calcular.

- Calcule Δx = x-x0.

- Calcule a função derivada e f '(x0).

- Substitua os dados na fórmula.

Exercícios de aproximação resolvidos

No que continua, há vários exercícios em que as aproximações são realizadas usando diferencial.

1. Primeiro exercício

Aproxima √3.

Solução

Seguindo a estratégia, você deve escolher uma função adequada. Nesse caso, pode -se observar que a função a ser escolhida deve ser f (x) = √x e o valor a aproximar é f (3) = √3.

Agora você deve escolher um valor "x0" próximo a "3" de modo que f (x0) seja fácil de calcular. Se "x0 = 2" for escolhido, ele deve "x0" está próximo de "3", mas f (x0) = f (2) = √2 não é fácil de calcular.

O valor de "x0" que combina é "4", porque "4" está próximo de "3" e também f (x0) = f (4) = √4 = 2.

Se “x = 3” e “x0 = 4”, então Δx = 3-4 = -1. Agora o derivado de f é calculado. Isto é, f '(x) = 1/2*√x, de modo que f' (4) = 1/2√4 = 1/2*2 = 1/4.

Substituindo todos os valores na fórmula é obtida:

√3 = f (3) ≈ 2 + (1/4)*( - 1) = 2 - 1/4 = 7/4 = 1.75.

Se uma calculadora for usada, é obtido que √3≈1.73205 ... Isso mostra que o resultado anterior é uma boa aproximação do valor real.

2. Segundo exercício

Aproxima √10.

Solução

Como antes é escolhido como função f (x) = √x e neste caso x = 10.

O valor de x0 que deve ser escolhido nesta ocasião é "x0 = 9". É então necessário.

Ao avaliar na fórmula, é obtido que

√10 = f (10) ≈ 3 + 1*1/6 = 3 + 1/6 = 19/6 = 3.1666 ..

Usando uma calculadora, obtém -se √10 ≈ 3.1622776… Aqui você também pode ver que uma boa abordagem foi obtida antes.

3. Terceiro exercício

Aproxima ³√10, onde ³√ denota a raiz cúbica.

Solução

Claramente, a função que deve ser usada neste exercício é f (x) = ³√x e o valor de "x" deve ser "10".

Um valor próximo a "10", de modo que sua raiz cúbica seja conhecida é "x0 = 8". Então você tem que Δx = 10-8 = 2 e f (x0) = f (8) = 2. Você também tem que f '(x) = 1/3*³√x², e consequente /12.

Substituindo os dados na fórmula, obtém -se que:

³√10 = f (10) ≈ 2 + (1/12)*2 = 2 + 1/6 = 13/6 = 2.16666 .. .

A calculadora diz que ³√10 ≈ 2.15443469 ... portanto, a aproximação encontrada é boa.

4. Quarto exercício

Aproxime LN (1.3), onde "ln" indica a função logaritmo natural.

Solução

Primeiro, é escolhido como função f (x) = ln (x) e o valor de "x" é 1.3. Agora, sabendo um pouco sobre a função logaritmo, você pode saber que Ln (1) = 0, e também "1" está próximo de "1.3 ". Portanto, “x0 = 1” é escolhido e então Δx = 1.3 - 1 = 0.3.

Por outro lado, f '(x) = 1/x, de modo que f' (1) = 1. Ao avaliar na fórmula fornecida, você precisa:

ln (1.3) = f (1.3) ≈ 0 + 1*0.3 = 0.3.

Ao usar uma calculadora, você precisa LN (1.3) ≈ 0.262364 ... para que a aproximação feita seja boa.