Binômio quadrado

O que é um binomial quadrado?

Em Álgebra Elementar Um binomial é a soma ou subtração de dois monômios, cuja forma é (a ± b), onde para é o primeiro termo e b o segundo. O símbolo ± que diz "mais", denota de forma compacta à soma e subtração destes termos.

Então, o binomial quadrado é escrito na forma (a ± b)², para representar a multiplicação do binomial consigo mesmo. Esta operação é facilmente realizada com a ajuda da propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição.

Interpretação geométrica do binomial quadrado como Adição de dois monômios: a área do quadrado grande consiste na área do quadrado verde, além da do quadrado laranja, além de os dois retângulos amarelos, resultando em um² + 2a⋅b + b². Fonte: Wikimedia Commons.

Dessa maneira, é obtido um resultado que é conveniente para memorizar, uma vez que o desenvolvimento de um binomial quadrado aparece em muitas aplicações de álgebra, o cálculo e as ciências em geral.

Explicação

O desenvolvimento do binomial quadrado é realizado com a ajuda da propriedade distributiva mencionada acima mencionada. Dessa forma, você recebe:

(A ± b)² = (a ± b) × (a ± b) = a² ± a⋅b ± b⋅a + b² = a² ± 2a⋅b + b²

O resultado, que sempre tem três termos e é conhecido como Produto notável, Ele lê desta maneira:

Quadrado do primeiro termo, mais/menos o produto duplo do primeiro termo para o segundo, mais o quadrado do segundo termo.

A definição é aplicável a qualquer binomial, independentemente da forma de seus termos.

Quadrado da soma e diferença

O quadrado de uma soma é:

(A + b)² = (a + b) × (a + b) = a² + Ab + ba + b² = a² + 2AB + b²

Enquanto o quadrado da diferença é:

(A - B)² = (a - b) × (a - b) = a² - ab - ba + b² = a² - 2AB + B²

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Observe que a diferença entre os dois desenvolvimentos está no sinal que é colocado no termo cruzado.

Exemplos

Exemplo 1

Ao desenvolver o quadrado do binomial (x + 5)², É obtido, usando o resultado obtido na seção anterior:

(x + 5)² = x² + 2x ∙ 5 + 5² = x² + 10x + 25

Exemplo 2

Para encontrar o desenvolvimento do binomial quadrado (2x - 3)², Prossiga de uma maneira análoga:

(2x - 3)² = (2x)² - 2 ∙ 2x ∙ 3 + 3² = 4x² - 12x + 9

Exemplo 3

Nem sempre o termo que contém letras vá primeiro no lugar. Por exemplo, quadrado o binomial (12 - 7x), é obtido:

(12 - 7x)² = 12² - 2 ∙ 12 ∙ 7x + (7x)² = 144 - 168x + 49x²

Exercícios

Desenvolva os seguintes binômios quadrados:

a) (3xy - 1)²
b) (2z + 5y)²
c) [(x+y) - 6]²

Solução para

(3xy - 1)² = (3xy)² - 2 ∙ 3xy ∙ 1 + 1² = 9x²e² - 6xy + 1

Solução b

(2z + 5y)² = (2z)² + 2 ∙ 2z ∙ 5y + (5y)² = 4z² + 20zy + 25y²

Solução c

[(x+y) - 6]² = (x+y)² - 2 ∙ (x +y) ∙ 6 +6² = (x+y)² - 12 ∙ (x + y) + 36

O primeiro mandato do trinomial pode ser desenvolvido por sua vez:

(x+y)² = x² + 2x ∙ y + e²

E substitua o resultado anterior:

[(x+y) - 6]² = (x+y)² - 12 ∙ (x + y) + 36 = x² + 2x ∙ y + e² - 12 ∙ (x + y) + 36

Trinomial quadrado perfeito

O resultado do desenvolvimento de um binomial quadrado contém três termos, de acordo com: (a ± b)² = a² ± 2AB + B². É por isso que é chamado trinômio (três monômios) e também é perfeito, pois é obtido pelo quadrado um binomial.

Identificar um trinômio quadrado perfeito e encontrar o binomial correspondente que dá origem a ele é o objetivo da fatorização.

Por exemplo, trinomial x² + 14x + 49 é um trinômio quadrado perfeito, já que:

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x² + 14x + 49 = (x + 7)²

O leitor pode verificar facilmente, desenvolvendo o quadrado do binomial (x + 7)² De acordo com as fórmulas anteriores:

(x + 7)² = x² + 2x ∙ 7 + 7² = x² + 14x + 49