Aceleração instantânea O que é, como é calculado e exercícios

O Aceleração instantânea É a mudança experimentada por velocidade por unidade de tempo em cada momento do movimento. No momento exato em que o "Dragster”Da imagem em que foi fotografada, teve uma aceleração de 29,4 m/s². Isso significa que, naquele momento, sua velocidade estava sendo aumentada em 29,4 m/s no período de 1 s. Isso é equivalente a 105 km/h em apenas 1 segundo.

Uma competição de dragsters é facilmente modelada, assumindo que a corrida é um objeto específico P direto. Nessa linha, um eixo orientado é escolhido com origem QUALQUER que chamaremos o eixo (Boi) ou simplesmente eixo x.

Dragsters são carros capazes de desenvolver grandes acelerações. Fonte: Pixabay.com

As variáveis ​​cinemáticas que definem e descrevem o movimento são:

• A posição x
• O deslocamento Δx
• A velocidade v
• Aceleração para

Todos eles são quantidades vetoriais. Portanto, eles têm uma magnitude, uma direção e um significado.

No caso do movimento retilíneo, existem apenas duas direções possíveis: positivo (+) no sentido de (Boi) ou negativo (-) na direção oposta de (Boi). Portanto, pode ser dispensado com a notação formal do vetor e usar os sinais para indicar o significado de magnitude.

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Como a aceleração é calculada?

Suponha que no momento t A partícula é velocidade V (t) E no momento t ' Sua velocidade é V (T ').

Então a mudança que teve a velocidade naquele período de tempo foi ΔV = v (t ') - v (t). Portanto, a aceleração no período de tempo Δt = t ' - t , seria dado pelo quociente:

Este quociente é a aceleração média para_m No período de tempo Δt entre os momentos t e t '.

Se quiséssemos calcular a aceleração apenas no momento t, então T 'deve ser uma quantidade insignificantemente maior do que t. Com este Δt, que é a diferença entre eles, deve ser quase zero.

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Matematicamente, é indicado da seguinte forma: Δt → 0 e é obtido:

O cálculo desse limite resulta na aceleração no instante t. A operação com a qual foi calculada em (t) é chamada de derivada de velocidade v (t) em relação à variável t. Portanto, a notação equivalente de aceleração instantânea é:

Exemplos ilustrativos e conceituais

Yo) Uma partícula se move no eixo x com velocidade constante V₀ = 3 m/s. Qual será a aceleração da partícula?

A derivada de uma constante é zero, portanto a aceleração de uma partícula que se move com velocidade constante é zero.

Ii) Uma partícula se move no eixo x E sua velocidade muda com o tempo de acordo com a seguinte fórmula:

V (t) = 2 - 3t

Onde a velocidade é medida em m/s e o tempo em s. Qual será a aceleração da partícula?

O resultado é interpretado da seguinte maneira: A qualquer momento a aceleração é -3 m/s.

Entre os instantes 0 se 2/3 s a velocidade é positiva enquanto a aceleração é negativa, ou seja, nesse intervalo, a partícula está diminuindo sua velocidade ou desacelerando.

No instante 2/3 s, sua velocidade se torna zero, mas como uma aceleração de -3 m/s permanece, a partir desse momento a velocidade é revertida (torna -se negativo).

Nos instantes após a partícula, a partícula está se acelerando, uma vez que sua velocidade se torna mais negativa, ou seja, sua velocidade (módulo de velocidade) está crescendo.

Iii) A figura mostra uma curva que representa a velocidade dependendo do tempo, para uma partícula que se move no eixo x. Encontre o sinal de aceleração em momentos t₁, t₂ e T₃. Indicam também se a partícula acelera ou desacelerando.

Gráfico de velocidade versus tempo para uma partícula. As encostas das linhas indicam a aceleração nos momentos denotados. Fonte: Self feito.

A aceleração é o derivado da função de velocidade, portanto é equivalente à inclinação da linha tangente à curva v (t) para um dado t.

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Por um momento t₁, A inclinação é negativa, então a aceleração é negativa. E como naquele momento a velocidade é positiva, podemos afirmar que naquele momento a partícula diminui.

Por um momento t₂ A linha tangente para curva v (t) é horizontal, então sua inclinação é zero. O celular tem aceleração nula, portanto em t₂ A partícula não acelera nem decellera.

Por um momento t₃, A inclinação da linha tangente à curva v (t) é positiva. Com uma aceleração positiva, a partícula realmente acelera, porque naquele momento a velocidade também é positiva.

Velocidade da aceleração instantânea

Na seção anterior, a aceleração instantânea foi definida a partir da velocidade instantânea. Em outras palavras, se a velocidade for conhecida a cada momento, também é possível conhecer a aceleração a cada momento do movimento.

O processo inverso é possível. Ou seja, a aceleração para cada momento, então a velocidade instantânea pode ser calculada.

Se a operação que permitir a velocidade da aceleração for derivada, a operação matemática oposta é a integração.  

Onde V₀ é a velocidade instantânea inicial t₀.

Exercícios resolvidos

Exercício 1

A aceleração de uma partícula que se move no eixo x é a (t) = ¼ t². Onde t é medido em segundos e em m/s. Determinar a aceleração e velocidade da partícula nos 2 s de movimento, sabendo que no T inicial₀ = 0 estava em repouso.

Responder

Aos 2 s a aceleração é de 1 m/s² E a velocidade do instante t será dada por:

 Avaliando para t = 2 s, a velocidade será de 2/3 m/s .

Exercício 2

Um objeto se move ao longo do eixo x com uma velocidade em m/s, dada por:

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v (t) = 3 t² - 2 t, onde T é medido em segundos. Determine a aceleração nos momentos: 0s, 1s, 3s.

Respostas

Tomando a derivada do V (t) em relação a T, a aceleração é obtida a qualquer momento:

A (t) = 6t -2

Então a (0) = -2 m/s² ; A (1) = 4 m/s² ; A (3) = 16 m/s² .

Exercício 3

Uma esfera de metal é liberada do topo de um edifício. A aceleração do outono é a aceleração da gravidade que pode ser aproximada pelo valor 10 m/s2 e apontando para baixo. Determine a velocidade da esfera 3 s após ser liberado.

Responder

Neste problema, a aceleração da gravidade intervém. Tomando o endereço vertical como positivo para baixo, Você tem que acelerar a esfera é:

A (t) = 10 m/s² 

E a velocidade será dada por: 

Isto é, após 3s a velocidade será V (3) = 10 ∙ 3 = 30 m/s.

Exercício 4

Uma esfera de metal dispara com uma velocidade inicial de 30 m/s. A aceleração do movimento é a aceleração da gravidade que pode ser aproximada pelo valor de 10 m/s² e apontando para baixo. Determine a velocidade da esfera em 2 se 4 s depois de ser desencadeada.

Responder

O endereço vertical será considerado positivo até em cima. En esse caso a aceleração do movimento será dada por

A (t) = -10 m/s²   

A velocidade como uma função será dada por:

 O leitor pode verificar facilmente se a velocidade após 2 segundos do lançamento é de 10 m/s. Portanto, a esfera está subindo.

Após 4 s se a velocidade for acionada, será 30 - 10 ∙ 4 = -10 m/s. O que significa que aos 4 s a esfera vai diminuir rapidamente 10 m/s.

Referências

1. Giancoli, d. Física. Princípios com aplicações. 6ª edição. Prentice Hall. 25-27.
2. Resnick, r. (1999). Físico. Volume 1. Terceira edição em espanhol. México. Empresa Editorial Continental S.PARA. claro.V. 22-27.
3. Serway, r., Jewett, J. (2008). Física para Ciência e Engenharia. Volume 1. 7º. Edição. México. Editores de aprendizado do Cengage. 25-30.